安德雷·柯尔莫哥洛夫

安德雷·尼古拉耶维奇·柯尔莫哥洛夫（1903年4月25日—1987年10月20日）是苏联数学家，其工作为现代概率理论奠定了基础。他于1933年提出的公理体系将概率纳入测度论，为离散和连续的随机现象提供了统一的数学框架。他的研究还涉及数学分析、动力系统、湍流以及信息的数学描述。(mathshistory.st-andrews.ac.uk)

生平与学术生涯

柯尔莫哥洛夫出生于俄罗斯帝国的坦波夫，主要由姨母薇拉抚养，在雅罗斯拉夫尔附近长大。他于1920年进入莫斯科国立大学，最初除数学外，还学习历史和冶金学。他于1925年毕业，随后在尼古拉·卢津的指导下继续研究。1931年，他成为该校教授；1939年，当选苏联科学院院士。(mathshistory.st-andrews.ac.uk)

他在学生时代就已在数学界崭露头角。1922年，他构造了一个可积函数，其傅里叶级数几乎处处发散。这表明，仅有可积性并不能保证函数的傅里叶展开逐点收敛。他早期的研究还涉及集合运算、积分和概率。(mathshistory.st-andrews.ac.uk)

莫斯科国立大学始终是他开展研究和教学的主要机构。除了大学工作，他还为中学数学教育投入了大量精力。他于1987年10月20日在莫斯科逝世。(homepages.cwi.nl)

概率的基础

柯尔莫哥洛夫于1933年出版的 Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung（英译名为 Foundations of the Theory of Probability，即《概率论基础》），以集合、测度和明确陈述的假设为核心，组织了概率理论。该书系统讨论了随机变量、独立性、条件概率以及无穷多个随机量组成的集合。(cml.rhul.ac.uk)

用现代记号表示，这一框架以概率空间来表述：

(\Omega,\mathcal F,P),

其中， $\Omega$ 是样本空间， $\mathcal F$ 是由事件组成的σ代数， $P$ 则为这些事件赋予概率。其核心要求是非负性、归一性 $P(\Omega)=1$ 和可列可加性：对于两两互不相交的事件 $A_1,A_2,\ldots$ ，有

P\!\left(\bigcup_{n=1}^{\infty}A_n\right) =\sum_{n=1}^{\infty}P(A_n).

可列可加性使极限和无穷序列能够与有限次试验在同一框架下处理。(cml.rhul.ac.uk)

由此，随机变量被视为样本空间上的可测函数，而其期望值则通过积分来定义。这种表述统一了有限概率表、连续分布以及更一般的概率模型。这些公理规定了概率的数学结构，但仅凭公理本身，并不能为某个具体试验选定概率模型，也不能解决概率在经验层面如何解释的所有问题。(cml.rhul.ac.uk)

另一项奠基性成果是**柯尔莫哥洛夫扩张定理**。在状态空间满足适当假设时，一族相容的有限维分布可以确定一个描述整个随机过程的概率测度。因此，该定理提供了一条从有限多个时刻的分布构建完整随机轨迹模型的途径。(cambridge.org)

极限定理与随机过程

柯尔莫哥洛夫在独立随机变量之和的性质方面作出了广泛贡献。他的工作包括收敛判据、部分和的不等式，以及大数定律的强形式。他与鲍里斯·格涅坚科合作，系统论述了独立随机变量之和的极限分布，相关著作于1949年以俄文出版。(cambridge.org)

他也推动了马尔可夫过程理论的发展。他在1931年的工作中运用微分方程研究这类过程的演化，在概率转移规律与数学分析之间建立了重要联系。这些进展与查普曼—柯尔莫哥洛夫方程属于同一套一般理论；该方程描述了连续相邻时间区间上的转移如何复合。(mathshistory.st-andrews.ac.uk)

动力系统与数学分析

1954年，柯尔莫哥洛夫公布了一项定理，讨论哈密顿系统在受到小扰动后，准周期运动如何保持。这一成果成为**柯尔莫哥洛夫—阿诺尔德—莫泽理论**的起点，随后由弗拉基米尔·阿诺尔德和于尔根·莫泽进一步发展。其核心见解是：在满足适当的非退化和非共振条件时，可积系统中的许多不变环面在足够小的扰动下仍然存在。因此，受到扰动的系统并不一定会失去所有规则运动。(web.ma.utexas.edu)

柯尔莫哥洛夫和阿诺尔德还研究了多元函数的表示问题。柯尔莫哥洛夫于1957年提出的叠加定理表明，有限维单位立方体上的连续实值函数可以用一元连续函数和加法来表示。这一**柯尔莫哥洛夫—阿诺尔德表示定理**解决了与大卫·希尔伯特第十三问题相关的连续函数版本。该定理的结论针对的是连续表示，并不意味着可以不加限制地用具有同等光滑性的一元函数替代多元函数。(cs.uwaterloo.ca)

湍流的统计理论

1941年，柯尔莫哥洛夫提出了一套统计理论，用于描述极高雷诺数下流体中的小尺度湍流。其关键假设是：足够小尺度的运动具有近似的普适性和局部各向同性。在一个中间尺度范围内，即大于黏性占主导作用的尺度、但小于能量输入尺度的范围内，统计性质主要由单位质量的平均能量耗散率 $\varepsilon$ 决定。(rainbow.ldeo.columbia.edu)

由此得到的一项预测是，二阶速度结构函数服从三分之二幂标度律：

\left\langle [\delta u_L(r)]^2\right\rangle \propto (\varepsilon r)^{2/3},

其中， $\delta u_L(r)$ 表示相距 $r$ 的两点之间的纵向速度差。该理论还给出了特征耗散长度：

\eta=\left(\frac{\nu^3}{\varepsilon}\right)^{1/4},

其中， $\nu$ 为运动黏度。这些是在特定物理假设下成立的统计标度关系，而不是对所有湍流的精确描述。(rainbow.ldeo.columbia.edu)

1941年最初提出的标度图景未能充分刻画间歇性，即强烈涨落和耗散在分布上的不均匀集中。反常标度研究考察了实际情况对简单量纲预测的偏离，尤其关注高阶统计量。(arxiv.org)

算法信息与复杂度

柯尔莫哥洛夫在1965年的论文《信息定量定义的三种方法》中，提出了衡量单个对象所含信息的算法方法。概率方法相对于某个分布来衡量信息，而算法方法所问的是：用程序描述一个具体对象，究竟可以简短到什么程度。(karlin.mff.cuni.cz)

由此得到的有限二进制字符串 $x$ 的**柯尔莫哥洛夫复杂度**，其普通形式为

C_U(x)=\min\{|p|:U(p)=x\},

其中， $U$ 是一台固定的最优通用图灵机， $|p|$ 是以比特计的程序长度。对于适当的最优参考机器，更换机器所引起的复杂度变化，至多为一个与 $x$ 无关的加法常数。这使最短描述长度成为一个稳健的数学概念，尽管其精确值仍依赖于所选机器。(karlin.mff.cuni.cz)

柯尔莫哥洛夫复杂度一般不可计算：不存在一种算法，能够对每个输入字符串都给出其精确值。实际的压缩方法可以提供上界，其中须计入必要的解码描述，但通常无法证明某个描述就是最短描述。雷·所罗门诺夫和格雷戈里·蔡廷也独立发展了相关思想，因此这一领域由多位奠基者共同开创，而非仅出自柯尔莫哥洛夫一人之手。(homepages.cwi.nl)

教育工作与荣誉

柯尔莫哥洛夫的教育活动包括指导大学生、参与中小学数学教育，以及为对科学有浓厚兴趣的学生提供专门教育。1963年，他参与创办了莫斯科国立大学附属物理数学寄宿学校。他的兴趣也不限于数学，还涉及历史和俄罗斯诗歌的定量研究。(internat.msu.ru)

他获得的国际荣誉包括1964年当选英国皇家学会外籍会员，以及1980年获得沃尔夫数学奖。他的名字与概率论中的基础性构造、动力系统中规则运动的保持、小尺度湍流定律，以及用最短程序描述信息的方法紧密相连。(mathshistory.st-andrews.ac.uk)

参考来源

Andrey Kolmogorov (1903–1987) — Biography — MacTutor History of Mathematicsmathshistory.st-andrews.ac.uk
A Short Biography of A. N. Kolmogorovhomepages.cwi.nl
Foundations of the Theory of Probabilitycml.rhul.ac.uk
A-mp_arc.dvi — Arnold’s account of Kolmogorov’s workweb.ma.utexas.edu
On the Representation of Continuous Functions of Several Variables as Superpositions of Continuous Functions of One Variable and Additioncs.uwaterloo.ca
The Local Structure of Turbulence in Incompressible Viscous Fluid for Very Large Reynolds Numbersrainbow.ldeo.columbia.edu
Anomalous Scaling in Kolmogorov–1941 Turbulencearxiv.org
Three Approaches to the Quantitative Definition of Informationkarlin.mff.cuni.cz
How Incomputable Is Kolmogorov Complexity?homepages.cwi.nl
Kolmogorov Complexityhomepages.cwi.nl
Андрей Николаевич Колмогоров — СУНЦ МГУinternat.msu.ru