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经济 / endogeneity

内生性

内生性指解释变量与模型中不可观测的扰动项相关，从而使估计和因果解释变得复杂。

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计量经济学因果推断线性回归协方差条件期望统计独立性普通最小二乘法方差内生性

内生性是变量相对于某个模型及其假设所具有的性质。在计量经济学中，它通常指解释变量与方程中不可观测的扰动项相关。这种依赖关系使标准回归方法无法将所关注的关系与其他因素的影响区分开来。因此，内生性是因果推断中的一个核心问题，尤其是在经济决策、结果和不可观测特征共同决定的情况下。其主要来源包括遗漏变量、反向因果关系和测量误差。(ocw.mit.edu)

含义与形式化定义

考虑如下线性回归方程：

Yi=α+βXi+ui,Y_i=\alpha+\beta X_i+u_i,

其中，YiY_i 是结果变量，XiX_i 是解释变量，uiu_i 是扰动项，代表未明确纳入方程的各种影响因素。在通常的线性矩条件意义下，当

Cov⁡(Xi,ui)≠0\operatorname{Cov}(X_i,u_i)\ne 0

时，XiX_i 就是内生变量。

外生回归变量则满足相应的零协方差条件。回归分析中经常使用一个更强的假设：

E[ui∣Xi]=0.\mathbb E[u_i\mid X_i]=0.

这一零条件期望条件意味着协方差为零，但仅有零协方差并不意味着条件期望为零，也不意味着统计独立性。因此，“外生性”所指的假设可能因模型和估计量而异。(ocw.mit.edu)

在经济理论中，内生也有“由模型内部决定”的含义，而外生变量则被视为给定的。这一用法与计量经济学中的内生性有关，但并不完全相同：一个变量在经济模型内部决定，这一事实本身并不能说明它在每个实证方程中都与扰动项相关。(bpb-us-w2.wpmucdn.com)

对估计的影响

对于包含截距项的简单回归，普通最小二乘法（OLS）的估计量满足：

β^OLS=β+∑i(Xi−Xˉ)ui∑i(Xi−Xˉ)2.\widehat\beta_{\mathrm{OLS}} = \beta+ \frac{\sum_i(X_i-\bar X)u_i} {\sum_i(X_i-\bar X)^2}.

在标准抽样条件和矩有限的条件下，若 XX 的方差为正，则

plim⁡β^OLS=β+Cov⁡(X,u)Var⁡(X).\operatorname{plim}\widehat\beta_{\mathrm{OLS}} = \beta+ \frac{\operatorname{Cov}(X,u)} {\operatorname{Var}(X)}.

这些表达式说明了为什么回归变量与扰动项之间非零的协方差会导致估计量不一致：增大样本量并不能消除估计量与目标系数之间的偏离。视其符号和大小而定，这种偏离可能使估计出的关系增强、减弱，甚至反转。(ocw.mit.edu)

内生性涉及的是方程中不可观测的扰动项，而不只是 OLS 拟合后得到的残差。OLS 残差由于其构造方式，必然与模型中包含的回归变量正交；这一样本性质并不能证明外生性。此外，即使未能识别结构效应或因果效应，最佳线性预测仍可以有明确的定义。对预测有用的相关关系，未必是因果关系的证据。(ocw.mit.edu)

主要来源

遗漏变量

假设相关方程为

Y=α+βX+γZ+ε,Y=\alpha+\beta X+\gamma Z+\varepsilon,

但 ZZ 被遗漏了。由此产生的扰动项为 u=γZ+εu=\gamma Z+\varepsilon。若 Cov⁡(X,ε)=0\operatorname{Cov}(X,\varepsilon)=0，则

Cov⁡(X,u)=γCov⁡(X,Z).\operatorname{Cov}(X,u) = \gamma\operatorname{Cov}(X,Z).

因此，当被遗漏的变量影响结果，并且与模型中包含的回归变量相关时，遗漏就会造成内生性。遗漏一个变量并不必然使所关注的系数产生偏误。这一机制与混杂密切相关。(blog.stata.com)

例如，将收入对教育进行回归时，所得关系可能既包含受教育的影响，也包含同时影响受教育程度和收入的不可观测特征所造成的差异。要对回归系数作因果解释，就需要相应的假设或研究设计来区分这些影响。(ocw.mit.edu)

联立性与反向因果关系

当变量共同决定时，就会出现联立性。在供给与需求模型中，观测到的价格和数量反映了供给曲线与需求曲线的相互作用。需求扰动可以改变均衡价格，使价格与需求方程中的扰动项相关。因此，对市场均衡的观测未必能揭示任何一条曲线的斜率。反向因果关系描述的是一个相关问题，即结果变量反过来影响被当作解释变量的变量。(bpb-us-w2.wpmucdn.com)

测量误差

假设真实回归变量为 X∗X^*，观测到的却是 X=X∗+vX=X^*+v，且

Y=α+βX∗+ε.Y=\alpha+\beta X^*+\varepsilon.

代入可得

Y=α+βX+(ε−βv).Y=\alpha+\beta X+(\varepsilon-\beta v).

在经典测量误差假设下，vv 与 X∗X^* 和 ε\varepsilon 均不相关。然而，观测到的回归变量包含 vv，而复合扰动项包含 −βv-\beta v。因此，两者的协方差为 −βVar⁡(v)-\beta\operatorname{Var}(v)。在简单回归中，这会使系数向零衰减；在更一般的测量误差情形下，则未必会出现衰减。(ocw.mit.edu)

选择

选择也可能使回归变量与扰动项产生依赖关系。例如，是否参与某个项目可能取决于影响项目结果的不可观测特征。同样，进入观测样本的选择过程也可能破坏原本在总体中成立的假设。选择是否会造成内生性，取决于选择机制以及所要研究的目标关系。(ocw.mit.edu)

时间维度上的外生性

对于时间序列和面板模型，依赖关系发生的时间至关重要。当期外生性涉及同一时点的回归变量与扰动项之间的关系。严格外生性通常要求，在给定回归变量整个观测历程（包括未来值）的条件下，扰动项的条件均值为零。序贯外生性则允许当期扰动对未来回归变量存在一定的反馈。这些区别会影响哪些估计方法有效。(ocw.mit.edu)

固定效应模型可以消除以加性形式存在、且不随时间变化的个体间不可观测差异，但通常不能消除随时间变化的混杂或联立性。标准的组内估计依赖于适当的外生性假设；纳入滞后因变量会带来额外的复杂性，在时间期数较少的面板中尤其如此。(ocw.mit.edu)

识别与估计策略

解决内生性需要统计识别假设，而不仅仅是换一种计算方法。随机对照试验中的随机分配，以及可信的自然实验，可以提供与其他混杂因素无关的变异。不过，分配情况与实际参与情况可能不同，因此，分配的效应与实际接受处理的效应是两个不同的研究目标。(nobelprize.org)

一种主要方法是使用工具变量（IV）。工具变量 ZZ 必须能够预测内生回归变量，并满足有关它与结果方程扰动项之间关系的限制。在简单的恒定效应模型中，条件

Cov⁡(Z,X)≠0,Cov⁡(Z,u)=0\operatorname{Cov}(Z,X)\ne0, \qquad \operatorname{Cov}(Z,u)=0

给出

β=Cov⁡(Z,Y)Cov⁡(Z,X).\beta= \frac{\operatorname{Cov}(Z,Y)} {\operatorname{Cov}(Z,X)}.

要作因果解释，还需要排除限制，即排除工具变量通过所研究的处理以外的其他渠道影响结果的可能性。仅有工具变量的相关性并不足够。(ocw.mit.edu)

两阶段最小二乘法通过以下步骤实现线性工具变量估计：先利用工具变量和模型中包含的外生控制变量预测内生回归变量，再将拟合值用于结果方程。弱工具变量可能使估计不精确，并使常规推断不可靠。其他估计方法包括广义矩估计和有限信息最大似然估计。任何一种方法都不能免除对合理识别假设的需求。(stata.com)

当处理效应因人而异时，工具变量未必能识别整个总体的平均效应。在处理和工具变量均为二元变量的情形下，有效的分配假设和排除假设、工具变量相关性以及单调性，可以识别那些因工具变量而改变参与状态的个体的局部平均处理效应。(nobelprize.org)

诊断与局限

杜宾–吴–豪斯曼检验用于评估：在所维持的模型假设和工具变量假设下，指定的回归变量能否被视为外生。这类检验不能确立工具变量的有效性，而未能拒绝外生性假设也不能证明外生性成立。(stata.com)

当工具变量的数量超过识别所需的数量时，过度识别检验会评估额外的矩限制是否与模型相容。对这类检验的解释是有条件的：未拒绝原假设并不能保证每个工具变量都有效。第一阶段诊断针对的是相关性，而非排除限制或不存在混杂。(stata.com)

历史发展

通过对联立经济方程的分析，内生性问题在二十世纪的计量经济学中成为核心问题。特里格韦·哈维尔莫在其 1943 年的论文《联立方程组的统计含义》中，说明了为什么必须联合考察方程组所蕴含的随机关系。他还区分了预测观测结果与估计可用于评估干预的关系——这一区别正是内生性在因果分析中如此重要的根本原因。(bpb-us-w2.wpmucdn.com)

参考来源

  1. 350 Lecture 7ocw.mit.edu
  2. 382 Spring 2017 Lecture 2: Structural Equations Models and IV, Take 1ocw.mit.edu
  3. 382 Spring 2017: Notes from 14.381ocw.mit.edu
  4. 310x Spring 2023 Lecture 21: Endogeneity and Instrument Variablesocw.mit.edu
  5. Understanding omitted confounders, endogeneity, omitted variable bias, and related conceptsblog.stata.com
  6. 382 Spring 2017 Lecture 8: Linear Panel Data Models Under Strict and Weak Exogeneityocw.mit.edu
  7. The Prize in Economic Sciences 2021: Popular Science Backgroundnobelprize.org
  8. Endogenous variablesstata.com
  9. ivregress postestimation — Postestimation tools for ivregressstata.com
  10. Testing model specification and using the program version of gmmblog.stata.com
  11. The Statistical Implications of a System of Simultaneous Equationsbpb-us-w2.wpmucdn.com