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经济 / instrumental-variables

工具变量

工具变量利用解释变量的外部变动识别和估计因果效应，其成立依赖于相关性与有效性假设。

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计量经济学因果推断内生性线性回归普通最小二乘法教育混杂矩阵的秩工具变量

工具变量（IV）是在解释变量与影响结果的不可观测因素相关时，用于识别和估计变量之间关系的变量。在计量经济学和因果推断中，工具变量为解释变量提供了可以与内生性来源相分离的变动。这个术语也指由此形成的一系列估计方法。工具变量并不只是一个额外的控制变量：它是否有用，取决于关于它如何影响解释变量、以及它与结果之间有何关系的实质性假设。(aeaweb.org)

工具变量要解决的问题

考虑如下线性回归模型：

Yi=α+βXi+ui,Y_i=\alpha+\beta X_i+u_i,

其中，YiY_i 是结果变量，XiX_i 是解释变量，uiu_i 包含方程中未明确纳入的、影响 YiY_i 的因素。当 XiX_i 与 uiu_i 相关时，普通最小二乘法通常无法相合地估计 β\beta。这种相关性可能源于遗漏变量、测量误差，或 XiX_i 与 YiY_i 的同时决定。(eml.berkeley.edu)

例如，将收入对受教育年限进行回归，可能会把教育的影响与不可观测特征的差异混在一起，而这些特征同时影响受教育程度和收入。加入可观测的控制变量不一定能消除这种混杂。工具变量方法则寻求受教育程度变动的某个来源，使其与其余不可观测的收入决定因素无关。所提出的变动来源是否确实具有这一性质，需要结合具体情境加以论证，而不能仅凭统计关联判断。(aeaweb.org)

工具变量的有效性与识别

对于简单线性模型，工具变量 ZiZ_i 必须满足两个基本条件：

  • 相关性： ZiZ_i 与 XiX_i 相关，即 Cov⁡(Zi,Xi)≠0\operatorname{Cov}(Z_i,X_i)\ne0。
  • 正交性： ZiZ_i 与结构误差项不相关，即 Cov⁡(Zi,ui)=0\operatorname{Cov}(Z_i,u_i)=0。

当存在多个回归变量和工具变量时，相关性就成为一个秩条件：工具变量必须提供足够相互区分的信息，才能识别所有系数。仅仅拥有很多工具变量并不足够。(eml.berkeley.edu)

在因果分析的应用中，有效性通常通过两个独立的实质性要求来解释。外生性是指工具变量的分配与相关的不可观测决定因素或潜在结果相互独立，这种独立性也可以是在给定可观测协变量的条件下成立。排除限制则是指工具变量只能通过所研究的处理变量或解释变量影响结果。在潜在结果框架中，这两者是不同的假设，而不是同一条件的两种可互换名称。(nber.org)

工具变量并不一定要与结果不相关。事实上，有效的工具变量可以通过影响处理来影响结果。被排除的是独立影响结果的路径，或工具变量与不可观测的结果决定因素之间会破坏识别假设的关系。(aeaweb.org)

单一工具变量估计量

在简单模型中，对等式两边分别与 ZiZ_i 求协方差，可得：

Cov⁡(Z,Y)=βCov⁡(Z,X)+Cov⁡(Z,u).\operatorname{Cov}(Z,Y) = \beta\operatorname{Cov}(Z,X) +\operatorname{Cov}(Z,u).

在正交性和相关性成立时，

β=Cov⁡(Z,Y)Cov⁡(Z,X).\beta= \frac{\operatorname{Cov}(Z,Y)} {\operatorname{Cov}(Z,X)}.

样本工具变量估计量用相应的样本协方差替代这些总体协方差。在适当的抽样条件和正则条件下，它是一个相合估计量；相合性并不意味着在有限样本中严格无偏。(eml.berkeley.edu)

对于二元工具变量，相应的比值通常称为 Wald 估计目标：

E[Y∣Z=1]−E[Y∣Z=0]E[X∣Z=1]−E[X∣Z=0].\frac{E[Y\mid Z=1]-E[Y\mid Z=0]} {E[X\mid Z=1]-E[X\mid Z=0]}.

分子是工具变量对结果的简约式效应；分母是它对解释变量的第一阶段效应。因此，工具变量方法用与工具变量相关联的结果变化，除以与之相关联的处理变化。其因果解释取决于关于处理响应的其他假设。(nber.org)

两阶段最小二乘法

两阶段最小二乘法（2SLS 或 TSLS）是存在多个工具变量或控制变量时的标准线性工具变量估计程序。对于模型

Yi=α+βXi+Wi′γ+ui,Y_i=\alpha+\beta X_i+W_i'\gamma+u_i,

其中 WiW_i 包含外生控制变量，估计步骤如下：

  1. 将 XiX_i 对被排除的工具变量和 WiW_i 进行回归，得到拟合值 X^i\widehat X_i。
  2. 将 YiY_i 对 X^i\widehat X_i 和 WiW_i 进行回归。

当有多个内生回归变量时，每个变量都要投影到完整的工具变量集合上。结果方程中包含的外生回归变量也应纳入该集合。(stata.com)

采用矩阵记号，令 RR 包含所有结构方程的回归变量，ZZ 包含所有工具变量，则

θ^2SLS=(R′PZR)−1R′PZY,PZ=Z(Z′Z)−1Z′.\widehat\theta_{\mathrm{2SLS}} =(R'P_ZR)^{-1}R'P_ZY, \qquad P_Z=Z(Z'Z)^{-1}Z'.

这里，在所需的逆矩阵均存在的前提下，PZP_Z 是投影到工具变量列空间上的正交投影矩阵。该估计量也是一种特定的广义矩估计量。(users.ssc.wisc.edu)

普通回归软件用于第二阶段时，可以得到相同的系数，但通常无法得到正确的工具变量标准误。工具变量估计的不确定性计算需要使用结构残差和适当的协方差估计量。异方差稳健、聚类稳健或自相关稳健的计算方法分别处理不同的误差结构；它们并不能确立工具变量的有效性。(stata.com)

异质性效应与局部平均处理效应

当处理效应因人而异时，工具变量估计不一定代表总体的平均效应。局部平均处理效应（LATE）框架明确了一种重要情形，在该情形下，工具变量估计具有精确的因果含义。(nber.org)

令 Di(z)D_i(z) 表示个体 ii 在工具变量被赋值为 zz 时是否会接受某项二元处理，令 Yi(d)Y_i(d) 表示处理状态为 dd 时的结果。这些是反事实潜在结果。在工具变量独立性、排除限制、非零第一阶段效应、一致性、无干扰以及单调性成立时，即

Di(1)≥Di(0),D_i(1)\ge D_i(0),

二元工具变量的 Wald 估计目标等于

E[Yi(1)−Yi(0)∣Di(1)>Di(0)].E[Y_i(1)-Y_i(0)\mid D_i(1)>D_i(0)].

这是服从者的平均效应：这些个体的处理状态会因工具变量而发生变化。单调性排除了响应方向相反的“反抗者”。始终接受处理者和从不接受处理者不会对工具变量所诱发的处理变化作出贡献。(nber.org)

例如，随机提供培训名额可能影响参与情况，但不会使所有人都参加培训。在上述假设下，提供名额可以识别因获得名额而参加培训者的处理效应，而不一定能识别所有参与者或所有符合资格者的处理效应。(nber.org)

不同的工具变量可以识别不同服从者群体的效应。当存在多个工具变量时，要将两阶段最小二乘估计解释为局部效应的正权重加权平均，还需要额外条件；这一解释并不会自动成立。(nber.org)

应用与历史发展

工具变量方法起源于20世纪20年代对供给与需求关系的估计尝试。观测到的价格与数量是在市场均衡中共同决定的，因此，两者的关联本身并不能描绘出供给曲线或需求曲线。只要所需假设成立，一个使供给发生变化、但不进入需求方程的变量，就能为需求方程提供可用于识别的变动。(aeaweb.org)

后来的应用涉及测量误差和遗漏变量问题。自然实验的发展，拓展了基于制度规则、抽签以及外部因素引起的机会变化来构造工具变量的应用。工具变量方法也适用于处理依从性不完全的随机对照试验，在这类试验中，分配的处理与实际接受的处理并不一致。随机分配提供了独立性的一个重要来源，但本身并不保证排除限制成立。(aeaweb.org)

吉多·因本斯和约书亚·安格里斯特在20世纪90年代的研究阐明了在响应具有异质性时，工具变量能够识别哪些平均处理效应。他们在因果关系分析方法上的贡献获得了2021年诺贝尔经济学奖的认可。(nobelprize.org)

弱工具变量、诊断与局限

弱工具变量对内生回归变量提供的预测信息太少，导致常规的大样本近似无法可靠地发挥作用。即使在大型数据集中，工具变量过弱也可能造成显著的估计量的偏差，以及具有误导性的显著性检验。加入大量弱工具变量可能使有限样本表现进一步恶化。(nber.org)

第一阶段的偏 R2R^2，以及对被排除工具变量预测贡献的检验，可以用来描述工具变量的强度。常见的第一阶段 F>10F>10 规则只是经验准则，并非普遍有效的保证：适用的阈值取决于模型、内生回归变量的数量、误差假设，以及可容忍的偏差或检验失真程度。(nber.org)

对弱工具变量稳健的方法，包括 Anderson–Rubin 检验和条件似然比检验，使研究者能够在不依赖通常的强工具变量近似的情况下进行统计假设检验并构造置信集合。在某些弱工具变量情形下，有限信息最大似然估计的偏差性质可能优于两阶段最小二乘估计，但任何估计量都无法凭空创造不存在的识别信息。(nber.org)

当被排除的工具变量数量多于内生回归变量数量时，方程是过度识别的，过度识别限制检验可以评估矩条件的相容性。这类检验并不能证明每个工具变量都有效；未拒绝原假设不能替代识别论证。(stata.com)

工具变量方法在实践中的核心局限是，相比外生性或排除限制，相关性更容易被直接观测。一个预测能力很强的工具变量仍然可能无效；而当相关性较弱时，即使轻微违反有效性条件，也可能造成尤其严重的影响。因此，制度背景方面的证据、模型假设以及工具变量所影响的人群，始终是解释工具变量估计结果不可或缺的依据。(nber.org)

参考来源

  1. Instrumental Variables and the Search for Identification: From Supply and Demand to Natural Experimentsaeaweb.org
  2. Econ. 240B: Chapter 4, Instrumental Variableseml.berkeley.edu
  3. Econometricsusers.ssc.wisc.edu
  4. Identification and Estimation of Local Average Treatment Effectsnber.org
  5. Identification of Causal Effects Using Instrumental Variablesnber.org
  6. Scientific Background on the Sveriges Riksbank Prize in Economic Sciences in Memory of Alfred Nobel 2021nobelprize.org
  7. The Causal Interpretation of Two-Stage Least Squares with Multiple Instrumental Variablesnber.org
  8. Instrumental Variables Regression with Weak Instrumentsnber.org
  9. The Cure Can Be Worse than the Disease: A Cautionary Tale Regarding Instrumental Variablesnber.org
  10. Testing for Weak Instruments in Linear IV Regressionnber.org
  11. Inference with Weak Instrumentsnber.org
  12. FAQ: Two-stage least-squares regressionstata.com