置信区间是统计学中对未知总体参数的一种区间估计。它根据样本数据计算得出，用于表达总体均值或总体比例等量的不确定性。其置信水平通常为 95%，描述的是构造方法在重复抽样中的表现：当假设成立时，按该方法构造的区间中，会有指定比例的区间包含参数真值。区间的两个端点称为置信限或置信界。(itl.nist.gov)
定义与解释
设 (X) 表示样本数据，(\theta) 表示未知参数。区间构造方法给出下界 (L(X)) 和上界 (U(X))。其覆盖概率为
[ P_\theta!\left(L(X)\leq\theta\leq U(X)\right), ]
其中，概率是在参数为 (\theta) 的抽样模型下计算的。精确的 (100(1-\alpha)%) 区间构造方法的覆盖概率为 (1-\alpha)；保守方法的覆盖概率至少达到这一水平。近似方法可能只有在适当条件下，或随着样本量增大，才能达到其名义覆盖概率。(nvlpubs.nist.gov)
在频率学派的解释中，参数是固定的，而区间端点会随样本变化。一个区间计算出来后，它要么包含该参数，要么不包含。因此，仅凭一个已经得到的 95% 置信区间，不能认为参数落在其中的概率是 95%。它也并不意味着包含 95% 的个体观测值：总体均值的不确定性与总体内部的变异是不同的概念。(itl.nist.gov)
区间可以是双侧的，同时具有下限和上限；也可以是单侧的，仅给出下界或上界。这一选择会改变未覆盖概率 (\alpha) 的分配方式。等尾双侧区间在两侧尾部各分配 (\alpha/2)，而单侧界限则将其全部分配到一侧尾部。(itl.nist.gov)
总体均值置信区间的构造
一种常见的构造方法假定观测值具有统计独立性，且来自正态分布。如果总体标准差 (\sigma) 已知，则总体均值 (\mu) 的置信区间为
[ \bar{x}\pm z_{1-\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt n}, ]
其中，(\bar{x}) 为样本均值，(n) 为样本量，(z_{1-\alpha/2}) 为标准正态分布在相应概率水平上的分位数。(\pm) 符号后面的表达式称为误差限。(itl.nist.gov)
当 (\sigma) 未知时，相应的区间使用样本标准差 (s)：
[ \bar{x}\pm t_{1-\alpha/2,n-1}\frac{s}{\sqrt n}. ]
这里，(t_{1-\alpha/2,n-1}) 是自由度为 (n-1) 的学生t分布的分位数，(s/\sqrt n) 则是均值标准误的估计值。例如，假设数据满足 (n=25)、(\bar{x}=10)、(s=2)，则 95% 置信区间约为 (10\pm2.064(0.4))，即 ([9.17,10.83])。(itl.nist.gov)
这种基于 t 分布的构造方法在独立正态抽样模型下是精确的。在该模型之外，它可以提供近似结果，但样本量小或分布明显偏斜时，其表现可能变差。中心极限定理解释了为什么在许多样本量足够大的情形下，抽样分布会近似于正态分布；但它并不保证对每一个数据集都能得到准确结果。(itl.nist.gov)
其他区间估计方法
对于用二项分布建模的比例，可采用 Wald 区间、Wilson 得分区间和 Clopper–Pearson 区间等方法。基本的 Wald 近似法可能存在覆盖概率不佳的问题，尤其当比例接近零或一时。Wilson 区间通过反演得分检验得到。Clopper–Pearson 区间利用二项分布的尾部概率构造，由于该分布是离散的，通常较为保守；“精确”并不意味着在每一个参数值下，覆盖概率都等于名义水平。(itl.nist.gov)
当估计量的抽样分布难以推导时，自助采样提供了另一种途径。通过反复重采样，可以近似得到该分布，从而构造百分位数区间、基本区间或学生化区间。自助法是否有效，仍取决于重采样方案和具体的统计情境。对于存在相依性的时间序列观测值，普通的独立重采样可能并不适用；分块重采样则能保留相依结构的某些特征。(stat.cmu.edu)
精度与假设检验
对于标准的均值置信区间，在数据相同的情况下，置信水平越高，区间越宽。增加样本量通常会使区间变窄，而变异程度越大，区间越宽。当临界值和变异程度近似不变时，区间宽度与 (1/\sqrt n) 成正比：样本量增加到原来的约四倍，误差限就会减半。这一关系反映的是抽样精度，并不意味着能够消除系统误差。(itl.nist.gov)
置信区间与统计假设检验密切相关。通过反演检验得到的区间，包含那些不会被相应检验拒绝的参数值。因此，对于相互匹配的方法，一个双侧 95% 置信区间不包含某个原假设参数值，当且仅当相应检验在 5% 显著性水平下拒绝该值。这种等价关系要求方法和假设相互兼容，而不只是数值上的水平相同。(itl.nist.gov)
相关区间与同时覆盖
贝叶斯推断中的可信区间，是在给定观测数据、模型和先验分布的条件下，包含参数后验分布中指定概率质量的区间。因此，即使数值端点相同，它的解释也不同于重复抽样意义下的置信覆盖。(nvlpubs.nist.gov)
预测区间针对的是未来的随机观测值，而不是固定参数。在线性回归中，它同时考虑拟合均值的不确定性和新观测值的变异，因此比相应的平均响应置信区间更宽。容忍区间则以指定的置信水平覆盖总体中指定比例的取值。(itl.nist.gov)
多个各自有效的 95% 置信区间，通常并不能保证同时覆盖其所有参数的概率为 95%。同时置信区间处理的正是这种联合覆盖要求。对于 (m) 个区间，邦费罗尼校正将每个区间的置信水平设为 (1-\alpha/m)；只要各区间的覆盖保证成立，联合覆盖概率就至少为 (1-\alpha)。这一保证不要求区间之间相互独立。(itl.nist.gov)