原假设 · aiwiki.page

原假设通常记作 $H_0$ ，是关于总体或数据生成过程的一项断言，通过统计假设检验加以评估。在统计学中，它为评估观测结果提供参照。原假设通常规定不存在差异、不存在关联，或某个参数取特定值，但它并不一定表示不存在效应。检验旨在判断：在指定的假定条件下，数据与原假设是否足够不相容，从而可以拒绝原假设。(itl.nist.gov)

表述与范围

原假设与备择假设配对，后者通常记作 $H_1$ 或 $H_a$ 。对于总体均值 $\mu$ ，双侧比较可以采用

H_0:\mu=\mu_0,\qquad H_1:\mu\ne\mu_0.

有方向性的比较则可以采用 $H_0:\mu\le\mu_0$ ，与之相对的备择假设为 $H_1:\mu>\mu_0$ 。因此，原假设并不必然是一个等式：它的形式取决于所研究的问题，以及检验旨在识别哪些备择情形。假设涉及的是总体特征，而不是观测到的样本均值是否恰好等于某个基准值。(itl.nist.gov)

更一般地，在统计模型 $\{P_\theta:\theta\in\Theta\}$ 中，原假设断言 $\theta$ 属于指定的子集 $\Theta_0$ 。简单假设完全指定数据的概率分布；复合假设则保留多种可能性。例如，均值为零、方差为一的正态分布是完全指定的，而只规定服从正态分布、均值和方差均未知的假设则是复合假设。即使假设固定了均值，只要其他分布参数仍未指定，它也属于复合假设。(stat210a.berkeley.edu)

检验程序

检验使用检验统计量，衡量数据在相关方面偏离原假设的程度。该统计量在 $H_0$ 下的抽样分布，与选定的显著性水平 $\alpha$ 共同确定拒绝域。当原假设为真时，统计量落入该区域的概率被控制在 $\alpha$ 或以下。对于复合原假设，这一要求适用于该假设涵盖的每一种分布：

\sup_{\theta\in\Theta_0} P_\theta(\text{拒绝 }H_0)\le\alpha.

这个上确界称为检验的大小，可能低于其名义显著性水平。(itl.nist.gov)

P值表示观测到的统计量相对于其在原假设下的分布有多极端。如果某个统计量的值越大，表示与原假设越不相容，那么对于简单原假设，一个例子是

p=P_{H_0}(T\ge T_{\mathrm{obs}}).

双侧检验根据该检验对极端程度的定义，将两个方向的偏离都纳入考虑。将有效的P值与预先指定的显著性水平比较，即可得到拒绝规则。P值既不是 $H_0$ 为真的概率，也不是结果完全由偶然因素产生的概率。(itl.nist.gov)

示例：检验总体均值

假设各观测值相互独立，且来自一个标准差未知的正态总体。为检验 $H_0:\mu=\mu_0$ ，采用的单样本t统计量为

T=\frac{\bar X-\mu_0}{S/\sqrt n},

其中， $\bar X$ 为样本均值， $S$ 为样本标准差， $n$ 为样本量。分母是均值的标准误的估计值。在原假设成立且满足上述假定条件时， $T$ 服从自由度为 $n-1$ 的学生t分布。在双侧检验中，当统计量取足够大的正值或绝对值足够大的负值时，拒绝原假设。(itl.nist.gov)

举例来说，若某样本满足 $n=25$ 、 $\bar X=102$ 、 $S=5$ ，且 $\mu_0=100$ ，则统计量为 $T=2$ 。在显著性水平为5%的双侧检验中，自由度为24时的临界值绝对值约为2.064，因此不拒绝原假设。这一结果反映的是检验所设定的证据门槛，并不能证明总体均值恰好为100。(itl.nist.gov)

错误、功效与解释

第一类与第二类错误的区别说明了检验的不对称性。第一类错误是拒绝了为真的原假设。第二类错误是未拒绝为假的原假设。统计功效是在指定备择假设下拒绝原假设的概率，等于一减去相应的第二类错误概率。功效取决于备择假设、样本量、变异程度和检验程序，并非仅由原假设本身决定的单一属性。(stat.berkeley.edu)

因此，未拒绝原假设并不等于证明原假设成立。数据可能与原假设相容，同时也与某些备择假设相容，而研究的功效不足以将它们区分开来。反过来，拒绝原假设也不能从逻辑上证明某个备择假设成立：仍然可能发生错误拒绝，而且不正确的建模假定可能使计算失去效力。结论既以所检验的假设为条件，也以获得参照分布时采用的假定为条件。(stat.berkeley.edu)

估计与多重检验

对于彼此对应的检验和区间估计方法，显著性水平为 $\alpha$ 的双侧检验拒绝某个参数值，当且仅当该值落在相应的 $100(1-\alpha)\%$ 置信区间之外。这种对应关系将假设检验与估计联系起来：区间展示了在该方法下与数据相容的一系列参数值，而不只是针对某一个值作出决定。(itl.nist.gov)

统计显著性并不衡量效应量或实际重要性。较小的P值可能伴随着较小的效应，而较大的P值也不能证明不存在重要效应。美国统计协会2016年的声明强调，科学结论不能简化为P值是否越过某个阈值。(doi.org)

当同时检验许多原假设时，多重检验会增加错误拒绝的机会。邦费罗尼校正等方法用于控制一组比较中的错误。对于 $m$ 个检验，若每个检验均采用 $\alpha/m$ 的显著性水平，则至少发生一次第一类错误的概率不超过 $\alpha$ ，而且这一结论不要求各检验相互独立。(itl.nist.gov)