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数学 / students-t-distribution

学生t分布

一族对称的重尾概率分布，在方差未知的正态总体统计推断中起核心作用。

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学生t分布是一种连续概率分布，在统计学中应用广泛，尤其用于根据来自正态总体的观测值估计总体均值，而总体方差未知的情形。其标准形式关于零对称，形状与正态分布相似，但尾部更厚。一个称为自由度的参数决定其形状：自由度越小，尾部越厚；自由度越大，分布就越接近标准正态分布。(itl.nist.gov)

历史起源

“Student”是威廉·西利·戈塞特的笔名。他于1908年3月在《生物统计学》（Biometrika）上发表论文《均值的或然误差》，建立了这一分布所依据的小样本理论。该理论处理的是这样一种不确定性：必须用同一组有限的观测值，既估计均值，又估计总体的离散程度。因此，这个名称指的是作者的笔名，并非表示该分布与学生群体有什么特殊关联。(ocw.mit.edu)

数学定义

设 ZZ 服从标准正态分布，VV 服从自由度为 ν>0\nu>0 的卡方分布。如果两者满足统计独立性，则随机变量

T=ZV/νT=\frac{Z}{\sqrt{V/\nu}}

服从学生t分布，记作 T∼tνT\sim t_\nu。虽然在抽样问题中，自由度通常为整数，但这一分布对任意正实数 ν\nu 都有定义。(search.r-project.org)

其概率密度函数为

fν(t)=Γ((ν+1)/2)νπ Γ(ν/2)(1+t2ν)−(ν+1)/2,−∞<t<∞,f_\nu(t)= \frac{\Gamma((\nu+1)/2)} {\sqrt{\nu\pi}\,\Gamma(\nu/2)} \left(1+\frac{t^2}{\nu}\right)^{-(\nu+1)/2}, \qquad -\infty<t<\infty,

其中 Γ\Gamma 表示伽马函数。这一构造与通常的正态标准化的区别在于分母是随机的：当分母的取值异常小时，比值可能成为绝对值很大的正数或负数。(search.r-project.org)

形状、矩与极限行为

所有中心t分布都是单峰且对称的，中位数和众数均为零。当 ν>1\nu>1 时，其期望值为零；当 0<ν≤10<\nu\le1 时，均值不存在。其方差为

Var⁡(T)=νν−2,ν>2.\operatorname{Var}(T)=\frac{\nu}{\nu-2}, \qquad \nu>2.

因此，只有当自由度大于2时，才存在有限的标准差。仅有对称性并不能保证矩的存在：偏度仅在 ν>3\nu>3 时有定义，峰度仅在 ν>4\nu>4 时有定义。(itl.nist.gov)

从密度公式可知，其尾部按 ∣t∣−(ν+1)|t|^{-(\nu+1)} 的比例衰减，而不像正态密度那样呈指数衰减。当 ν=1\nu=1 时，它退化为标准柯西分布。当 ν\nu 趋于无穷大时，该分布趋近于标准正态分布。这些都是由其密度函数及极限行为得到的数学结论。(search.r-project.org)

从正态总体抽样

设 X1,…,XnX_1,\ldots,X_n 是来自 N(μ,σ2)N(\mu,\sigma^2) 的相互独立的观测值，其中 n≥2n\ge2。定义样本均值和样本方差为

Xˉ=1n∑i=1nXi,S2=1n−1∑i=1n(Xi−Xˉ)2.\bar X=\frac1n\sum_{i=1}^{n}X_i, \qquad S^2=\frac1{n-1}\sum_{i=1}^{n}(X_i-\bar X)^2.

则标准化统计量

T=Xˉ−μS/nT=\frac{\bar X-\mu}{S/\sqrt n}

服从自由度为 n−1n-1 的t分布。具有这一抽样分布的是该统计量，而非原始观测值。分母 S/nS/\sqrt n 是样本均值的标准误的估计值。(search.r-project.org)

与使用已知的总体标准差相比，估计总体标准差会引入额外的不确定性。t分布通过更厚的尾部将这种不确定性纳入考虑。这一精确结论依赖于样本来自正态总体；对于任意数据，仅仅将未知标准差替换为估计值，并不能保证统计量精确服从t分布。(online.stat.psu.edu)

假设检验与置信区间

在对原假设 H0:μ=μ0H_0:\mu=\mu_0 进行统计假设检验时，单样本检验统计量为

tobs=xˉ−μ0s/n.t_{\mathrm{obs}}=\frac{\bar x-\mu_0}{s/\sqrt n}.

在正态模型下，且原假设成立时，该统计量服从 tn−1t_{n-1}。双侧P值是统计量的绝对值至少达到 ∣tobs∣|t_{\mathrm{obs}}| 的相应概率。等价地，在显著性水平 α\alpha 下，当 ∣tobs∣>t1−α/2,n−1|t_{\mathrm{obs}}|>t_{1-\alpha/2,n-1} 时，拒绝原假设。(itl.nist.gov)

μ\mu 的双侧 100(1−α)%100(1-\alpha)\% 置信区间为

xˉ±t1−α/2,n−1sn,\bar x\pm t_{1-\alpha/2,n-1}\frac{s}{\sqrt n},

其中 tp,νt_{p,\nu} 为 pp 分位数。其置信水平描述的是重复抽样时区间覆盖总体均值的长期比例，而不是在观察到区间后赋予固定总体均值的概率。精确的覆盖率要求正态模型成立；偏离正态性可能产生影响，尤其是在样本量较小或偏斜严重时。(itl.nist.gov)

位置—尺度形式与非中心形式

通过 Y=m+aTY=m+aT 可得到位置—尺度形式，其中 a>0a>0。它的中心为 mm，但尺度参数通常不等于标准差：当 ν>2\nu>2 时，其方差为 a2ν/(ν−2)a^2\nu/(\nu-2)。这一结果可直接由中心分布的变换得到。(search.r-project.org)

非中心t分布则将正态分子替换为 Z+δZ+\delta：

Tδ=Z+δV/ν.T_\delta=\frac{Z+\delta}{\sqrt{V/\nu}}.

它并不是简单地将中心t分布平移后得到的分布。在正态样本的均值检验中，当备择假设成立时，δ=(μ−μ0)n/σ\delta=(\mu-\mu_0)\sqrt n/\sigma。这一形式对于计算统计功效十分重要，因为它描述了原假设中的均值与真实均值不同时，检验统计量的分布。(search.r-project.org)