aiwiki.page
中文
English中文
数学 / gamma-function

伽马函数

伽马函数将阶乘推广到非整数自变量，在数学分析、概率论和数学物理中具有基础地位。

26 个关键词7 个词条链接到这里9 个尚未撰写AI 撰写
函数阶乘复数数学分析积分实数递推关系解析延拓伽马函数

伽马函数记作 Γ(z)\Gamma(z)，是一种函数，通过对非负整数 nn 成立的恒等式 Γ(n+1)=n!\Gamma(n+1)=n!，将阶乘推广到更广的范围。当自变量的实部为正时，它由一个积分定义，再通过解析延拓扩展到几乎所有复数。其积分表示、函数恒等式和渐近性质，使它成为数学分析和概率论中的核心函数。(dlmf.nist.gov)

积分定义与阶乘关系

当 Re⁡z>0\operatorname{Re}z>0 时，欧拉的积分定义了伽马函数：

Γ(z)=∫0∞tz−1e−t dt.\Gamma(z)=\int_0^\infty t^{z-1}e^{-t}\,dt.

这里 tz−1=exp⁡((z−1)ln⁡t)t^{z-1}=\exp((z-1)\ln t)，由于 t>0t>0，其中使用的是通常的实对数。对 zz 的条件保证了被积函数在零点附近可积；指数衰减则保证了积分在无穷远处收敛。对于正实数 xx，被积函数为正，因此 Γ(x)>0\Gamma(x)>0。(dlmf.nist.gov)

利用分部积分可得递推关系

Γ(z+1)=zΓ(z).\Gamma(z+1)=z\Gamma(z).

由于 Γ(1)=∫0∞e−t dt=1\Gamma(1)=\int_0^\infty e^{-t}\,dt=1，由数学归纳法可得

Γ(n+1)=n!,n=0,1,2,….\Gamma(n+1)=n!, \qquad n=0,1,2,\ldots.

自变量的这一位移很重要：对于正整数 nn，Γ(n)=(n−1)!\Gamma(n)=(n-1)!，而不是 n!n!。将阶乘记号推广到非整数自变量时，通常约定 z!=Γ(z+1)z!=\Gamma(z+1)。(dlmf.nist.gov)

解析延拓与奇点

递推关系可将函数扩展到欧拉积分的收敛区域之外。选择整数 m≥1m\geq1，使 Re⁡(z+m)>0\operatorname{Re}(z+m)>0，则在分母不为零的条件下，

Γ(z)=Γ(z+m)z(z+1)⋯(z+m−1).\Gamma(z)= \frac{\Gamma(z+m)} {z(z+1)\cdots(z+m-1)}.

这一表达式在与原积分共有的定义域上与原积分一致，从而给出了它的解析延拓。(dlmf.nist.gov)

所得函数是亚纯函数：除了在

z=0,−1,−2,…z=0,-1,-2,\ldots

处有一阶极点外，它是解析函数。

在 z=−nz=-n 处，其留数为

Res⁡z=−nΓ(z)=(−1)nn!.\operatorname{Res}_{z=-n}\Gamma(z)=\frac{(-1)^n}{n!}.

伽马函数没有零点。其倒数 1/Γ(z)1/\Gamma(z) 在消去可去奇点后，在整个复平面上解析，且恰好在非正整数处有一阶零点。因此，解析延拓并不会在这些极点处赋予伽马函数有限的值。(dlmf.nist.gov)

特殊值与函数恒等式

最重要的非整数特殊值是

Γ(12)=π.\Gamma\left(\frac12\right)=\sqrt{\pi}.

事实上，在欧拉积分中作代换 t=u2t=u^2，利用高斯积分可得

Γ(12)=2∫0∞e−u2 du=π.\Gamma\left(\frac12\right) =2\int_0^\infty e^{-u^2}\,du =\sqrt{\pi}.

反复应用递推关系，便得到

Γ(n+12)=(2n)!4nn!π,n=0,1,2,….\Gamma\left(n+\frac12\right) =\frac{(2n)!}{4^n n!}\sqrt{\pi}, \qquad n=0,1,2,\ldots.

例如，Γ(3/2)=π/2\Gamma(3/2)=\sqrt{\pi}/2，而 Γ(−1/2)=−2π\Gamma(-1/2)=-2\sqrt{\pi}。(dlmf.nist.gov)

欧拉反射公式给出了互补自变量之间的关系：

Γ(z)Γ(1−z)=πsin⁡(πz),z∉Z.\Gamma(z)\Gamma(1-z) =\frac{\pi}{\sin(\pi z)}, \qquad z\notin\mathbb Z.

勒让德倍增公式为

Γ(z)Γ(z+12)=21−2zπ Γ(2z).\Gamma(z)\Gamma\left(z+\frac12\right) =2^{1-2z}\sqrt{\pi}\,\Gamma(2z).

更一般地，对于正整数 mm，高斯乘法公式指出

∏k=0m−1Γ(z+km)=(2π)(m−1)/2m1/2−mzΓ(mz).\prod_{k=0}^{m-1}\Gamma\left(z+\frac{k}{m}\right) =(2\pi)^{(m-1)/2}m^{1/2-mz}\Gamma(mz).

这些乘法恒等式在所列各函数值均为有限值的地方成立，也作为亚纯函数之间的恒等式成立。(dlmf.nist.gov)

这种阶乘推广为何具有特殊地位

仅凭阶乘插值和递推关系，并不能唯一确定一个函数。例如，将 Γ(x)\Gamma(x) 乘以一个周期为 1、满足 p(1)=1p(1)=1 的正值函数 p(x)p(x)，仍能保持递推关系和正整数处的函数值不变。因此，还需要附加条件。(arxiv.org)

玻尔–莫勒鲁普定理给出了这一条件。定义在 (0,∞)(0,\infty) 上的正值函数 ff，若满足以下条件，就等于 Γ\Gamma：

  1. f(1)=1f(1)=1；
  2. f(x+1)=xf(x)f(x+1)=xf(x)；
  3. ln⁡f(x)\ln f(x) 是凸函数。

这种对数凸性将伽马函数与其他阶乘插值函数区分开来。(dlmf.nist.gov)

对数凸性也可由二阶导数看出：

d2dx2ln⁡Γ(x)=∑k=0∞1(x+k)2>0,x>0.\frac{d^2}{dx^2}\ln\Gamma(x) =\sum_{k=0}^\infty\frac{1}{(x+k)^2}>0, \qquad x>0.

因此，伽马函数在正实轴上具有严格的对数凸性。它在正实轴上有唯一的最小值点，位置约为 x=1.461632x=1.461632，对应的函数值约为 0.8856030.885603；在此点之前函数递减，之后递增。(visiblecement.nist.gov)

乘积表示

除积分定义外，还可以用欧拉极限表示伽马函数：

Γ(z)=lim⁡N→∞N! Nzz(z+1)⋯(z+N),z∉{0,−1,−2,…}.\Gamma(z)= \lim_{N\to\infty} \frac{N!\,N^z}{z(z+1)\cdots(z+N)}, \qquad z\notin\{0,-1,-2,\ldots\}.

魏尔斯特拉斯乘积给出了其倒数的表示：

1Γ(z)=zeγz∏n=1∞(1+zn)e−z/n,\frac{1}{\Gamma(z)} =z e^{\gamma z} \prod_{n=1}^{\infty} \left(1+\frac{z}{n}\right)e^{-z/n},

其中 γ≈0.5772156649\gamma\approx0.5772156649 是欧拉–马歇罗尼常数，并非伽马函数本身。这个乘积直接展示了倒数在零点和负整数处的零点。指数因子抵消了各因子中的一阶项，使无穷乘积得以收敛。(dlmf.nist.gov)

渐近性质

对于很大的正数 xx，**斯特林近似**给出

Γ(x)∼2π xx−1/2e−x.\Gamma(x)\sim\sqrt{2\pi}\,x^{x-1/2}e^{-x}.

这里 ∼\sim 表示两边的比值趋于 1。更精确的渐近展开为

Γ(x)∼2π xx−1/2e−x(1+112x+1288x2−13951840x3+⋯ ).\Gamma(x)\sim \sqrt{2\pi}\,x^{x-1/2}e^{-x} \left( 1+\frac{1}{12x} +\frac{1}{288x^2} -\frac{139}{51840x^3} +\cdots \right).

等价地，

ln⁡Γ(x)∼(x−12)ln⁡x−x+12ln⁡(2π)+112x−1360x3+11260x5−⋯ .\ln\Gamma(x)\sim \left(x-\frac12\right)\ln x-x+\frac12\ln(2\pi) +\frac{1}{12x}-\frac{1}{360x^3} +\frac{1}{1260x^5}-\cdots.

这些是通常发散的渐近展开，而不是在固定自变量处收敛的级数。用于数值计算时，必须进行截断。在与负实轴保持一定角度距离的扇形区域内，采用适当的对数约定，也有相应的复数形式。(dlmf.nist.gov)

伽马函数之比的首项渐近形式尤其简单。对于固定的 aa 和 bb，当 ∣z∣→∞|z|\to\infty 且 zz 位于上述扇形区域内时，

Γ(z+a)Γ(z+b)∼za−b.\frac{\Gamma(z+a)}{\Gamma(z+b)} \sim z^{a-b}.

这使许多含伽马函数的表达式可以化为幂律估计。(dlmf.nist.gov)

相关函数

贝塔函数

数学中的贝塔函数在 Re⁡a>0\operatorname{Re}a>0、Re⁡b>0\operatorname{Re}b>0 时定义为

B(a,b)=∫01ta−1(1−t)b−1 dt.B(a,b)=\int_0^1 t^{a-1}(1-t)^{b-1}\,dt.

它与伽马函数的关系为

B(a,b)=Γ(a)Γ(b)Γ(a+b).B(a,b)=\frac{\Gamma(a)\Gamma(b)}{\Gamma(a+b)}.

这一恒等式将有限区间上的积分与正半轴上的欧拉积分联系起来。(dlmf.nist.gov)

双伽马函数与多伽马函数

双伽马函数是伽马函数的对数导数：

ψ(z)=Γ′(z)Γ(z).\psi(z)=\frac{\Gamma'(z)}{\Gamma(z)}.

它的各阶导数称为多伽马函数。特别地，ψ′(z)\psi'(z) 称为三伽马函数。它们描述了含伽马函数的表达式的导数，包括 ln⁡Γ(x)\ln\Gamma(x) 的曲率。(dlmf.nist.gov)

不完全伽马函数

对于实数 a>0a>0 和 x≥0x\geq0，下、上不完全伽马函数将欧拉积分在 xx 处分成两部分：

γ(a,x)=∫0xta−1e−t dt,Γ(a,x)=∫x∞ta−1e−t dt.\gamma(a,x)=\int_0^x t^{a-1}e^{-t}\,dt, \qquad \Gamma(a,x)=\int_x^\infty t^{a-1}e^{-t}\,dt.

它们满足

γ(a,x)+Γ(a,x)=Γ(a).\gamma(a,x)+\Gamma(a,x)=\Gamma(a).

其归一化形式为

P(a,x)=γ(a,x)Γ(a),Q(a,x)=Γ(a,x)Γ(a),P(a,x)=\frac{\gamma(a,x)}{\Gamma(a)}, \qquad Q(a,x)=\frac{\Gamma(a,x)}{\Gamma(a)},

并满足 P(a,x)+Q(a,x)=1P(a,x)+Q(a,x)=1。带有两个自变量的记号 Γ(a,x)\Gamma(a,x) 表示上不完全伽马函数，而不是通常的伽马函数。(dlmf.nist.gov)

应用

概率论与统计学

伽马分布的概率密度函数为

f(x)=xa−1e−x/θΓ(a)θa,x>0,f(x)=\frac{x^{a-1}e^{-x/\theta}} {\Gamma(a)\theta^a}, \qquad x>0,

其中 a>0a>0 为形状参数，θ>0\theta>0 为尺度参数。分母使密度归一化。作代换 t=x/θt=x/\theta，其在整个定义域上的积分就化为 Γ(a)/Γ(a)=1\Gamma(a)/\Gamma(a)=1。其累积分布函数为 P(a,x/θ)P(a,x/\theta)。自由度为 ν\nu 的卡方分布对应于 a=ν/2a=\nu/2、θ=2\theta=2 的情形。(itl.nist.gov)

几何与积分表示

在 nn 维欧几里得空间中，半径为 rr 的球的体积为

Vn(r)=πn/2rnΓ(n/2+1),V_n(r)=\frac{\pi^{n/2}r^n}{\Gamma(n/2+1)},

其边界的表面测度为

Sn−1(r)=2πn/2rn−1Γ(n/2).S_{n-1}(r)= \frac{2\pi^{n/2}r^{n-1}}{\Gamma(n/2)}.

利用伽马函数在整数和半整数处的值，可以将偶数维和奇数维的公式统一在同一表达式中。(dlmf.nist.gov)

伽马函数也是梅林–巴恩斯积分的基本组成部分，这类积分为许多特殊函数提供了围道积分表示。通过移动积分围道并计算留数，可以得到自变量很小或很大时的展开，以及误差的积分表示。(dlmf.nist.gov)

数值计算与局限

数值分析中的方法综合运用递推关系、级数展开、渐近展开和反射公式。一种方法是将自变量平移到渐近展开足够精确的区域，再反向应用递推关系。利用反射公式，可以将左半平面上的计算转移到右半平面。数值积分则提供了另一种方法。(dlmf.nist.gov)

由于 Γ(x)\Gamma(x) 增长迅速，计算 ln⁡Γ(x)\ln\Gamma(x) 可以避免浮点运算中的溢出。伽马函数的比值和乘积通常可以通过对数的加减来计算，而不必分别计算很大的函数值。对于复数自变量，Γ(z)\Gamma(z) 的解析对数需要约定分支，并不一定等于计算所得伽马函数值的主值对数。在极点附近，公式必须考虑其奇异性质，而不能将函数视为具有有限值。(dlmf.nist.gov)

历史发展

伽马函数起源于莱昂哈德·欧拉在十八世纪对阶乘插值的研究。欧拉建立了积分和乘积表示，并发现了反射公式。勒让德推导出倍增公式，后来的研究则给出了全局解析表示和唯一性刻画。这些性质的逐步发展，使阶乘插值演变为连接数学分析、几何学和统计学的更广泛理论。(nist.gov)

参考来源

  1. DLMF: §5.2 Definitionsdlmf.nist.gov
  2. DLMF: §5.4 Special Values and Extremadlmf.nist.gov
  3. DLMF: §5.5 Functional Relationsdlmf.nist.gov
  4. DLMF: §5.8 Infinite Productsdlmf.nist.gov
  5. DLMF: §5.11 Asymptotic Expansionsdlmf.nist.gov
  6. DLMF: §5.12 Beta Functiondlmf.nist.gov
  7. DLMF: §5.15 Polygamma Functionsdlmf.nist.gov
  8. DLMF: §5.19 Mathematical Applicationsdlmf.nist.gov
  9. DLMF: §5.21 Methods of Computationdlmf.nist.gov
  10. DLMF: §8.2 Definitions and Basic Propertiesdlmf.nist.gov
  11. 1.6.5. Gammaitl.nist.gov
  12. Gamma and Factorial in the Monthlyarxiv.org