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数学 / beta-distribution

贝塔分布

定义在单位区间上的一族形态灵活的连续概率分布，广泛用于描述比例及概率的不确定性。

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贝塔分布是一族连续概率分布，用于描述取值介于零和一之间的随机变量。它有两个正的形状参数，通常记为 α\alpha 和 β\beta，写作 X∼Beta⁡(α,β)X\sim\operatorname{Beta}(\alpha,\beta)。由于取值范围有界且形态多样，贝塔分布适合表示比例以及具有不确定性的概率。尤其是，对于只有两种可能结果的试验，它为成功概率的不确定性提供了便于解析处理的模型。(docs.scipy.org)

定义与分布函数

当 α>0\alpha>0 且 β>0\beta>0 时，概率密度函数为

f(x;α,β)=xα−1(1−x)β−1B(α,β),0<x<1,f(x;\alpha,\beta) =\frac{x^{\alpha-1}(1-x)^{\beta-1}}{B(\alpha,\beta)}, \qquad 0<x<1,

在单位区间以外则为零。归一化常数为贝塔函数，由下列积分定义：

B(α,β)=∫01tα−1(1−t)β−1 dt=Γ(α)Γ(β)Γ(α+β),B(\alpha,\beta) =\int_0^1 t^{\alpha-1}(1-t)^{\beta-1}\,dt =\frac{\Gamma(\alpha)\Gamma(\beta)} {\Gamma(\alpha+\beta)},

其中，Γ\Gamma 表示伽马函数。因此，对于任意一对正参数，密度函数的积分都等于一。(itl.nist.gov)

累积分布函数为

F(x)=Ix(α,β)=1B(α,β)∫0xtα−1(1−t)β−1 dt,0≤x≤1.F(x)=I_x(\alpha,\beta) =\frac{1}{B(\alpha,\beta)} \int_0^x t^{\alpha-1}(1-t)^{\beta-1}\,dt, \qquad 0\le x\le1.

这里，IxI_x 是正则化不完全贝塔函数。一般情况下，分位数没有简单的闭式表达式，需要通过数值方法求得。虽然密度可能在某个端点附近趋于无穷大，但该分布仍然是连续的：零和一这两个点的概率质量均为零。(itl.nist.gov)

分布形态与参数解释

参数决定了概率在区间内的分布方式：

  • 当 α=β=1\alpha=\beta=1 时，该分布就是 [0,1][0,1] 上的均匀分布。
  • 当 α,β>1\alpha,\beta>1 时，密度在区间内部有唯一的峰。
  • 当 0<α,β<10<\alpha,\beta<1 时，密度呈 U 形，并在趋近两端点时趋于无穷大。
  • 当 α≤1\alpha\le1 且 β≥1\beta\ge1 时，除均匀分布的情形外，密度在整个区间上递减；将这两个不等式的方向反转，则得到递增的密度。

当两个参数相等时，分布关于 1/21/2 对称。交换参数相当于将密度曲线左右翻转：若 X∼Beta⁡(α,β)X\sim\operatorname{Beta}(\alpha,\beta)，则 1−X∼Beta⁡(β,α)1-X\sim\operatorname{Beta}(\beta,\alpha)。(randomservices.org)

一种实用的替代参数化方式将均值与集中程度分开表示：

μ=αα+β,κ=α+β,\mu=\frac{\alpha}{\alpha+\beta}, \qquad \kappa=\alpha+\beta,

于是 α=μκ\alpha=\mu\kappa，β=(1−μ)κ\beta=(1-\mu)\kappa。固定 μ\mu 时，增大 κ\kappa 会降低离散程度，而不改变均值。这可以直接由下文的方差公式得出，有助于区分分布的中心位置与集中程度。(itl.nist.gov)

矩与尺度变换

期望值和方差分别为

E[X]=αα+β,Var⁡(X)=αβ(α+β)2(α+β+1)=μ(1−μ)κ+1.\mathbb E[X]=\frac{\alpha}{\alpha+\beta}, \qquad \operatorname{Var}(X) =\frac{\alpha\beta} {(\alpha+\beta)^2(\alpha+\beta+1)} =\frac{\mu(1-\mu)}{\kappa+1}.

当两个形状参数都大于一时，众数为

α−1α+β−2.\frac{\alpha-1}{\alpha+\beta-2}.

这些公式描述的是单位区间上的标准贝塔分布。(itl.nist.gov)

通过令 Y=a+(b−a)XY=a+(b-a)X，可以将贝塔随机变量变换到任意有限区间 [a,b][a,b] 上，其中 a<ba<b。其密度变为

fY(y)=1b−af ⁣(y−ab−a;α,β).f_Y(y)=\frac{1}{b-a} f\!\left(\frac{y-a}{b-a};\alpha,\beta\right).

因此，其均值为 a+(b−a)E[X]a+(b-a)\mathbb E[X]，方差为 (b−a)2Var⁡(X)(b-a)^2\operatorname{Var}(X)。区间端点额外规定了位置和尺度，并不能替代两个形状参数。(docs.scipy.org)

贝叶斯推断

在贝叶斯推断中，贝塔先验分布是伯努利分布模型或二项分布模型中成功概率 pp 的共轭先验。假设在给定 pp 的条件下，nn 次试验相互独立，并观测到 ss 次成功。似然函数与 ps(1−p)n−sp^s(1-p)^{n-s} 成正比。根据贝叶斯定理，将似然函数与贝塔先验相乘，可得到后验分布

p∣s,n∼Beta⁡(α+s,β+n−s).p\mid s,n \sim\operatorname{Beta}(\alpha+s,\beta+n-s).

因此，每次成功使第一个参数增加一，每次失败使第二个参数增加一。(mas.ncl.ac.uk)

后验均值为

E[p∣s,n]=α+sα+β+n.\mathbb E[p\mid s,n] =\frac{\alpha+s}{\alpha+\beta+n}.

当 n>0n>0 时，它可以写成先验均值与观测成功比例的加权平均：

α+βα+β+nαα+β+nα+β+nsn.\frac{\alpha+\beta}{\alpha+\beta+n} \frac{\alpha}{\alpha+\beta} + \frac{n}{\alpha+\beta+n}\frac{s}{n}.

这一代数关系说明了为什么可以将 α+β\alpha+\beta 解释为先验集中度或有效权重参数。形状参数不必是整数，也不必对应实际的历史观测次数。例如，Beta⁡(2,2)\operatorname{Beta}(2,2) 先验在观测到八次成功和两次失败后，会更新为 Beta⁡(10,4)\operatorname{Beta}(10,4)，后验均值为 5/75/7。(mas.ncl.ac.uk)

相关分布与参数估计

贝塔分布可以由伽马分布构造。若 G1G_1 与 G2G_2 满足统计独立性，形状参数分别为 α,β\alpha,\beta，且具有相同的正速率参数，则

G1G1+G2∼Beta⁡(α,β).\frac{G_1}{G_1+G_2} \sim\operatorname{Beta}(\alpha,\beta).

这一关系提供了一种生成贝塔随机变量的构造方法。(randomservices.org)

贝塔分布还可以描述次序统计量：对于 nn 个相互独立、服从 [0,1][0,1] 上均匀分布的随机变量，按观测值从小到大排列后的第 kk 个值服从 Beta⁡(k,n−k+1)\operatorname{Beta}(k,n-k+1) 分布。因此，贝塔分布不仅是为有界数据选用的模型，也自然出现在排序后观测值的抽样分布中。(math.arizona.edu)

狄利克雷分布将贝塔分布族推广到由正比例组成、各分量之和为一的向量。当向量只有两个分量时，第一个分量服从贝塔分布，第二个分量则等于一减去第一个分量。(docs.scipy.org)

对于严格介于零和一之间的观测值，最大似然估计通过求解非线性方程来确定形状参数，通常需要采用数值方法。如果区间端点也可以自由估计，那么当拟合端点趋近于极端观测值时，似然可能变得无界；因此，固定区间端点与自由估计区间端点会导致差异显著的拟合问题。(itl.nist.gov)