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数学 / sample-mean

样本均值

样本均值是观测值的算术平均数，用于描述数据集的中心位置并估计总体均值。

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统计学估计量随机变量概率分布普通最小二乘法均方误差期望值方差样本均值

样本均值是有限个数值观测值的算术平均数。在统计学中，它既是描述数据集中心位置的指标，也是总体均值的估计量。这两种作用有所区别：观测到的样本均值是根据数据计算出的一个数，而在收集观测值之前，样本均值则是一个随机变量，其取值取决于抽取到的样本。(online.stat.psu.edu)

定义与记号

对于观测值 x1,x2,…,xnx_1,x_2,\ldots,x_n，其中 n≥1n\geq1，样本均值为

xˉ=1n∑i=1nxi.\bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_i.

记号 xˉ\bar{x} 读作“x bar”，通常表示观测到的数值。如果将观测值建模为随机变量 X1,…,XnX_1,\ldots,X_n，则相应的统计量记为

Xˉn=1n∑i=1nXi.\bar{X}_n=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i.

总体均值通常记为 μ\mu。与 xˉ\bar{x} 不同，它描述的是总体或背后的概率分布，而不是某一个特定样本。(online.stat.psu.edu)

例如，观测值 2,4,4,102,4,4,10 的样本均值为 20/4=520/4=5。均值不一定等于任何一个观测值。它与观测值具有相同的计量单位，并赋予每个观测值相同的权重。这些性质都可以直接由定义公式得出。(online.stat.psu.edu)

代数性质

各观测值与样本均值之差的总和为零：

∑i=1n(xi−xˉ)=0.\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})=0.

因此，均值可视为数值观测值的平衡点。它还遵循尺度与原点变换：若 yi=axi+by_i=ax_i+b，则 yˉ=axˉ+b\bar{y}=a\bar{x}+b。这两个恒等式都可以通过代入 xˉ\bar{x} 的定义得到。(online.stat.psu.edu)

样本均值是唯一能使各观测值与某个常数之差的平方和达到最小的常数。对于任意实数 cc，有

∑i=1n(xi−c)2=∑i=1n(xi−xˉ)2+n(c−xˉ)2.\sum_{i=1}^{n}(x_i-c)^2 = \sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2 +n(c-\bar{x})^2.

最后一项非负，且当且仅当 c=xˉc=\bar{x} 时为零。因此，均值是采用普通最小二乘法拟合得到的常数，并使相应的均方误差准则达到最小。(heogden.github.io)

期望与抽样变异性

假设观测值独立同分布，且具有有限的期望值 μ\mu 和方差 σ2\sigma^2。则

E[Xˉn]=μ,Var⁡(Xˉn)=σ2n.\mathbb{E}[\bar{X}_n]=\mu, \qquad \operatorname{Var}(\bar{X}_n)=\frac{\sigma^2}{n}.

第一个恒等式意味着，用样本均值估计 μ\mu 时，估计量的偏差为零：在重复抽样中，样本均值的平均值等于总体均值。这并不意味着任何一个样本的均值都等于 μ\mu。(online.stat.psu.edu)

样本均值的抽样分布的标准差称为其标准误，等于 σ/n\sigma/\sqrt{n}。在总体不变的情况下，将样本量增至原来的四倍，会使这一标准误减半。当 σ\sigma 未知时，通常用 s/ns/\sqrt{n} 估计标准误，其中

s2=1n−1∑i=1n(xi−xˉ)2,n>1.s^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2, \qquad n>1.

分母采用 n−1n-1 是估计总体方差时使用的贝塞尔校正；均值本身的计算仍以 nn 为分母。(online.stat.psu.edu)

统计独立性对通常使用的方差公式至关重要。更一般地，当二阶矩存在时，

Var⁡(Xˉn)=1n2[∑iVar⁡(Xi)+2∑i<jCov⁡(Xi,Xj)].\operatorname{Var}(\bar{X}_n) = \frac{1}{n^2} \left[ \sum_i\operatorname{Var}(X_i) +2\sum_{i<j}\operatorname{Cov}(X_i,X_j) \right].

这一公式可通过展开随机变量之和的方差得到。因此，非零的协方差会改变均值的不确定性。(bpb-us-e1.wpmucdn.com)

大样本性质

在独立同分布抽样且一阶绝对矩有限的条件下，大数定律表明，随着样本量增大，样本均值趋近于总体均值。具体而言，样本均值以依概率收敛的方式趋于 μ\mu，因此是一个相合估计量。相合性关注样本量不断增大时的表现，而无偏性关注给定样本量下的期望。(pstat120b.github.io)

若各观测值共有的方差有限且为正，则由中心极限定理可得

n(Xˉn−μ)σ→dN(0,1).\frac{\sqrt{n}(\bar{X}_n-\mu)}{\sigma} \xrightarrow{d}N(0,1).

因此，当样本量足够大时，样本均值的抽样分布近似为正态分布。如果观测值服从正态分布，那么无论样本量多大，样本均值都严格服从正态分布。对于非正态总体，近似的准确程度既取决于总体分布，也取决于样本量；偏斜程度较高的分布可能需要更大的样本量。(openstax.org)

置信区间与检验

对于来自正态总体、相互独立的观测值，若方差未知且 n>1n>1，则

T=Xˉn−μS/nT=\frac{\bar{X}_n-\mu}{S/\sqrt{n}}

服从自由度为 n−1n-1 的学生t分布。因此，μ\mu 的双侧 100(1−α)%100(1-\alpha)\% 置信区间为

xˉ±t1−α/2,n−1sn.\bar{x}\pm t_{1-\alpha/2,n-1}\frac{s}{\sqrt{n}}.

在针对某个假定总体均值进行的统计假设检验中，同样的标准化差值构成一个检验统计量。(itl.nist.gov)

置信水平描述的是：在满足相应假设的条件下，这种区间构造方法在长期重复使用时覆盖总体均值的比例。它并不是在观测到某个具体区间之后，赋予固定总体均值的概率。在非正态抽样情况下，基于 t 分布的区间可提供近似结果，但样本量较小或严重偏离正态性时，其覆盖率可能受到影响。(itl.nist.gov)

解释与局限

样本均值利用每一个观测值，并且对极端值敏感。根据定义，将某个观测值替换为比它大 dd 的数值，会使均值增加 d/nd/n。因此，少数较大的观测值就可能使均值偏离大部分数据所在的位置。由排序位置决定的中位数对这类极端值较不敏感。对于偏斜分布，均值与中位数描述的是位置的不同方面，而不是可以互换的“典型值”概念。(online.stat.psu.edu)