备择假设 · aiwiki.page

备择假设是统计假设检验中规定偏离原假设情形的命题。它通常记作 $H_1$ 、 $H_a$ 或 $H_A$ ，描述检验旨在识别的参数取值或生成数据的分布。例如，原假设可以规定总体均值等于某个给定值，而备择假设则规定总体均值不等于该值。备择假设有助于确定哪些观测结果可视为反对原假设的证据。(itl.nist.gov)

数学表述

在统计学中，统计假设涉及总体或其概率分布，而不只是对已观测样本的描述。假设一个模型由参数 $\theta$ 确定，且 $\theta$ 属于参数空间 $\Theta$ 。检验问题可写为

H_0:\theta\in\Theta_0, \qquad H_1:\theta\in\Theta_1,

其中 $\Theta_0$ 与 $\Theta_1$ 互不相交。在穷尽所有可能情形的表述中， $\Theta_1=\Theta\setminus\Theta_0$ ，即备择假设包含原假设所排除的所有可能情形。另一些检验问题则比较指定的、互不相交的可能情形，而不要求这些情形涵盖模型中的全部可能性。(itl.nist.gov)

简单假设完全确定了分布；复合假设则允许存在不止一种可能的分布。例如，若观测值服从正态分布，且方差已知，那么 $H_1:\mu=12$ 是简单假设，而 $H_1:\mu>10$ 是复合假设。如果方差仍然未知，仅指定均值并不能使假设成为简单假设。这一区分很重要，因为对于复合备择假设所包含的不同分布，同一检验的性能可能有所不同。(online.stat.psu.edu)

单侧与双侧备择假设

对于总体均值 $\mu$ 和参照值 $\mu_0$ ，常见的表述有：

双侧： $H_0:\mu=\mu_0$ ，对立于 $H_1:\mu\ne\mu_0$ 。
上侧： $H_0:\mu\le\mu_0$ ，对立于 $H_1:\mu>\mu_0$ 。
下侧： $H_0:\mu\ge\mu_0$ ，对立于 $H_1:\mu<\mu_0$ 。

双侧备择假设涵盖两个方向上的偏离，单侧备择假设则只涵盖指定方向上的偏离。入门介绍有时会将单侧检验的原假设写成等式，因为通常的临界值由边界值决定；采用不等式表述则能明确体现两个假设的互补关系。(itl.nist.gov)

备择假设决定相应的拒绝域。在常规的对称双侧检验中，两端尾部的极端值都构成反对原假设的证据，通常将显著性水平的一半分配给每一侧尾部。上侧检验则在检验统计量足够大时拒绝原假设。因此，同样的观测结果在不同备择假设下可能产生不同的决策，因为这些检验回答的是不同的问题。(itl.nist.gov)

在构造检验中的作用

检验将统计量与决策规则相结合，决策规则依据原假设下该统计量的抽样分布进行校准。P值衡量观测到的统计量相对于原假设模型有多极端，而“极端”的含义由检验及其备择假设确定。计算P值不能仅看样本估计值在数值上是否与假设值不同，还必须考虑抽样变异。(itl.nist.gov)

例如，对于相互独立、服从正态分布且总体标准差未知的观测值，单样本均值检验使用

T=\frac{\bar X-\mu_0}{S/\sqrt n},

其中， $\bar X$ 为样本均值， $S$ 为样本标准差， $n$ 为样本量。分母是估计的标准误。在原假设的边界处， $T$ 服从自由度为 $n-1$ 的学生t分布。备择假设决定拒绝域位于上尾、下尾还是两侧尾部。(itl.nist.gov)

备择假设也在最优检验理论中发挥作用。奈曼–皮尔逊引理表明，当简单原假设与简单备择假设相对时，利用两个模型的似然函数之比适当地构造检验，可以得到给定检验大小下的最强检验。对于复合备择假设，同一个检验未必在每个参数值处都是最强的。(online.stat.psu.edu)

错误与统计功效

检验中的第一类与第二类错误分别是：拒绝实际上为真的原假设，以及在备择假设成立时未能拒绝原假设。水平为 $\alpha$ 的检验将所有原假设参数取值下的第一类错误概率控制在不超过 $\alpha$ 的范围内。对于备择假设中的某个特定参数值 $\theta$ ，统计功效为

\pi(\theta)=P_\theta(\text{拒绝 }H_0).

相应的第二类错误概率为 $\beta(\theta)=1-\pi(\theta)$ 。因此，复合备择假设一般对应一个功效函数，而不是一个统一的功效值。(itl.nist.gov)

功效取决于实际效应量、样本量、变异程度、显著性阈值以及检验方法。在标准的均值比较情境中，样本量越大或偏离原假设的程度越大，功效通常越高。因此，计算功效需要指定备择假设下的效应，通常是被认为具有实际意义的效应，而不能仅仅声称“存在某种差异”。(online.stat.psu.edu)

解释与报告

在检验的假定成立时，拒绝原假设提供了反对原假设的证据，但并不意味着备择假设必然成立。尤其是， $p$ 和 $1-p$ 都不是备择假设为真的概率。统计显著性也不能衡量偏离的幅度或实际重要性。(amstat.org)

同样，未能拒绝原假设也不能证明相等。与检验相匹配的置信区间表明，在所用方法下，哪些参数值仍与数据相容。对于常规的双侧均值检验，在边界判定约定一致的前提下，以水平 $\alpha$ 拒绝原假设，等价于相应的 $100(1-\alpha)\%$ 区间不包含 $\mu_0$ 。(itl.nist.gov)

推断过程必须考虑多重检验和选择性报告。在众多备择假设中进行搜索，却只报告有利的结果，可能歪曲证据。因此，假设、模型假定、分析选择和不确定性估计都是报告中的重要内容，不能用一个拒绝与否的决策来取代。(magazine.amstat.org)