矩阵的秩

在线性代数中，矩阵的秩是其线性无关的列的最大数量，也等于其线性无关的行的最大数量。等价地，秩是该矩阵所表示的线性映射的像的维数。秩衡量的是矩阵能够产生多少个独立的输出方向，而不只是矩阵中有多少个非零元素。通常记作 $\operatorname{rank}(A)$。(arxiv.org)

定义与解释

设 $A$ 是域（数学） $F$ 上的一个 $m\times n$ 矩阵。它的列属于向量空间 $F^m$，这些列的线性包称为列空间：

矩阵的秩就是列空间的维数：

因此，秩为 $r$ 的矩阵中存在 $r$ 列，构成其列空间的一组基；其余每一列都是这些基列的线性组合。(math.mit.edu)

行空间是矩阵各行在 $F^n$ 中的线性包。行秩等于列秩是一条定理，而不是这两个空间定义的一部分。尽管行空间和列空间通常位于不同的环境空间中，它们的维数都为 $r$。因此，矩阵的转置满足

(arxiv.org)

将矩阵视为线性映射 $T_A:F^n\to F^m$ 时，它将定义域映满一个 $r$ 维线性子空间。例如，实矩阵 $\operatorname{diag}(1,1,0)$ 的秩为二：它将三维空间映满一个坐标平面，并将第三个坐标方向映为零。(math.mit.edu)

等价刻画

秩总是满足

零矩阵的秩为零。若矩阵的秩为 $n$，则称其为列满秩；若秩为 $m$，则称其为行满秩；若秩为 $\min(m,n)$，则称其为满秩。否则，称其为秩亏矩阵。(arxiv.org)

秩还等于非零子式的最高阶数；子式是选取相同数量的行和列所构成的行列式。若存在一个非零的 $r\times r$ 子式，且所有更高阶的子式都为零，就可确定矩阵的秩为 $r$。因此，对于 $n\times n$ 矩阵，满秩等价于行列式非零，也等价于存在逆矩阵。(math.brown.edu)

在实数域或复数域上，奇异值分解给出

其中 $V^*$ 表示共轭转置。秩等于 $\Sigma$ 中严格为正的奇异值的数量。这些奇异值是 $A^*A$ 的正特征值的平方根。(ocw.mit.edu)

用消元法计算秩

高斯消元法通过将矩阵化为行阶梯形来计算秩。交换两行、将一行乘以非零标量，以及将一行的倍数加到另一行，都不会改变秩。主元位置的数量，也就是行阶梯形中非零行的数量，便是矩阵的秩。(arxiv.org)

例如，

原矩阵的第二行是第一行的两倍，而第三行与第一行线性无关。消元后有两个主元，因此秩为二。

要得到原矩阵列空间的一组基，应选取与主元列对应的原矩阵中的列。行化简保持列之间的线性依赖关系，但不一定保持列空间本身。在这个例子中，原矩阵的前两列就构成这样一组基。(math.mit.edu)

秩、零化度与线性方程组

零空间为

其维数称为零化度。秩—零化度定理指出

因此，秩计量独立输出方向的数量，而零化度计量被映射为零的独立输入方向的数量。(math.mit.edu)

对于线性方程组 $Ax=b$，有解当且仅当 $b$ 属于列空间，等价地，

当方程组有解时，解唯一当且仅当 $\operatorname{rank}(A)=n$。否则，解中有 $n-\operatorname{rank}(A)$ 个自由参数。在有限域上，这仍然描述了解空间的维数，只是解的数量是有限的。(math.mit.edu)

数值秩与低秩近似

在数值线性代数中，精确判定数值是否为零往往存在困难，因为浮点运算和测量不确定性可能使精确的线性依赖关系表现为很小的非零奇异值。因此，数值秩统计的是超过所选容差的奇异值数量，而不是所有在数学上为正的奇异值数量。容差取决于精度、不确定性、尺度以及具体应用；数值秩并不是一个独立于这些选择的内在整数。(netlib.org)

一种常见的相对判据是

其中 $\sigma_1$ 是最大的奇异值，$\tau$ 是指定的相对阈值。基于奇异值分解的最小二乘求解程序使用这类判据来确定有效秩。(netlib.org)

秩也是低秩矩阵分解的基础。只保留最大的 $k$ 个奇异值，可得到一个秩不超过 $k$ 的矩阵；截断奇异值分解在谱范数和弗罗贝尼乌斯范数下都能给出这类矩阵中的最佳近似。这将秩与降维联系起来：对于近似低秩的数据矩阵，可以用更少的独立方向来表示，同时控制近似误差。(ocw.mit.edu)