函数的像 · aiwiki.page

函数的像是将一个函数作用于其函数的定义域中的每个元素后，所得全部值组成的集合。对于函数 $f:X\to Y$ ，其像记作 $f(X)$ 或 $\operatorname{im}(f)$ ，是陪域 $Y$ 的一个子集。更一般地，子集 $A\subseteq X$ 的像由以 $A$ 中的元素为输入所得到的输出组成。整个函数的像通常称为其值域，不过有些作者用英文 “range” 一词指陪域。(jirka.org)

定义与记号

对于 $f:X\to Y$ ，子集 $A\subseteq X$ 的像定义为

f(A)=\{f(x):x\in A\} =\{y\in Y:\text{存在 }x\in A \text{ 使得 }f(x)=y\}.

这也称为 $A$ 的直接像。取 $A=X$ ，便得到

\operatorname{im}(f)=f(X).

因此，一个元素是否属于像，是一个存在性问题：某个输出属于 $f(A)$ ，当且仅当 $A$ 中至少有一个输入能产生该输出。(jirka.org)

“元素 $x$ 的像”指的是值 $f(x)$ ，而单元素集合 $\{x\}$ 的像则是集合 $\{f(x)\}$ 。按照惯例，同一个记号 $f$ 既用于求元素的函数值，也用于求集合的像；具体指哪一种运算，由其作用对象决定。(jirka.org)

像、定义域与陪域

这三个集合各有不同的作用：

定义域规定允许使用的输入。
陪域规定输出必须属于哪个集合。
像由实际取得的输出组成。

定义函数 $f:X\to Y$ 时，就指定了定义域和陪域；像则由函数在定义域上的作用决定。特别地，陪域中可能包含函数永远不会取到的元素。(cs.cornell.edu)

例如，考虑以下取值为实数的函数：

f:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad f(x)=x^2.

它的像是 $[0,\infty)$ ：任何数的平方都非负，而且对于每个 $y\geq0$ ，取 $x=\sqrt y$ 就能得到该值。如果将定义域限制为 $[-2,1]$ ，像就变为 $[0,4]$ 。如果改以整数为定义域，像就是所有非负整数平方组成的集合。这些都是定义的直接应用，也说明了为什么在没有指定定义域时，仅凭公式无法确定像。(jirka.org)

在保持输入和输出不变的情况下，只要新的陪域仍然包含所有输出，改变陪域就不会改变像。不过，这可能改变函数是否为满射。(tildesites.geneseo.edu)

满射性与可逆性

满射函数是指像等于陪域的函数：

f\text{ 为满射}\quad\Longleftrightarrow\quad f(X)=Y.

单射函数不会将两个不同的输入映射为同一个输出。双射函数则同时满足这两个条件。(math.dartmouth.edu)

将任意函数的陪域替换为 $f(X)$ ，就可以把它看作到自身像上的满射：

\widetilde f:X\to f(X),\qquad \widetilde f(x)=f(x).

如果 $f$ 还是单射，那么这个映射就是双射，并且存在定义在 $f(X)$ 上的反函数。这些结论直接来自定义：像中的每个元素都有一个输入能产生它，而单射性保证了这个输入的唯一性。(math.dartmouth.edu)

像与原像

子集 $B\subseteq Y$ 的原像，也称逆像，定义为

f^{-1}(B)=\{x\in X:f(x)\in B\}.

求像是从一组输入出发，得到它们产生的输出；求原像则是从一组输出出发，找出能产生这些输出的所有输入。使用原像记号并不要求反函数存在。(jirka.org)

对于平方函数，直接计算可得

f^{-1}(\{4\})=\{-2,2\}, \qquad f^{-1}(\{-1\})=\varnothing.

因此，同一个输出可能由多个输入产生，也可能没有任何输入能产生它。更一般地，

y\in f(X)\quad\Longleftrightarrow\quad f^{-1}(\{y\})\neq\varnothing,

这只是像的定义的直接改写。(jirka.org)

像与集合运算

取像保持包含关系和任意并集。如果 $A\subseteq B\subseteq X$ ，那么

f(A)\subseteq f(B).

对于 $X$ 的任意子集族 $(A_i)_{i\in I}$ ，有

f\!\left(\bigcup_{i\in I}A_i\right) =\bigcup_{i\in I}f(A_i).

特别地，空集的像仍为空集。这些等式成立，是因为一个输入属于某个并集，当且仅当它属于该集合族中的至少一个集合。(ncatlab.org)

取像一般不保持交集：

f(A\cap B)\subseteq f(A)\cap f(B),

但等号未必成立。例如，在 $f(x)=x^2$ 下，不相交的集合 $A=\{-1\}$ 和 $B=\{1\}$ 的像都是 $\{1\}$ ，而它们交集的像为空集。等号不成立的原因是，同一个输出可能来自不同的输入。对于单射函数，任意两个子集都满足上述等式。(ncatlab.org)

像与函数复合之间也有自然的关系。对于 $f:X\to Y$ 、 $g:Y\to Z$ 以及 $A\subseteq X$ ，有

(g\circ f)(A)=g(f(A)).

因此，复合函数的像包含于其外层函数的像。将 $(g\circ f)(x)=g(f(x))$ 代入像的定义，即可得到这一等式。(math.dartmouth.edu)

线性代数中的像

对于向量空间之间的线性映射 $T:V\to W$ ，其像（线性映射）是 $W$ 的一个线性子空间。当该映射用矩阵 $M$ 表示时，其像就是由 $M$ 的各列向量张成的空间：

\operatorname{im}(M)=\{Mx:x\in\mathbb R^n\}.

其维数就是 $M$ 的矩阵的秩。(math.mit.edu)

像决定了线性方程组的哪些右端向量可以由左端取得：

Mx=b\text{ 有解} \quad\Longleftrightarrow\quad b\in\operatorname{im}(M).

秩—零化度定理将这个像的维数与零空间的维数联系起来：

\dim\operatorname{im}(M)+\dim\ker(M)=n.

因此，像描述的是能够取得的输出，而零空间描述的是被映射为零的输入。(math.mit.edu)

连续函数下的像

在拓扑学中，连续函数在取像时会保持某些性质：

紧空间的连续像仍是紧空间。
连通空间的连续像仍是连通空间。

这些结论中的像配备的是从陪域继承的子空间拓扑。(math.toronto.edu)

由于实数直线上的连通子集都是区间，区间在连续实值函数下的像仍是区间。这与介值定理密切相关。在非空的闭有界区间上，紧性还保证函数能够取得其像的最小值和最大值；因此，这个像是一个闭有界区间，也可能只包含一个点。这就将像的概念与极值定理联系起来。(math.toronto.edu)

参考来源

Basic Analysis Ijirka.org
Introduction (CS 2800, Fall 2016)cs.cornell.edu
Geneseo Math 239 01 Functions Introtildesites.geneseo.edu
AATA Sets and Equivalence Relationsmath.dartmouth.edu
Interactions of images and pre-images with unions and intersections in nLabncatlab.org
03 Lecture Notes, Spring 2025math.mit.edu
MAT246: Outline of Point Set Topologymath.toronto.edu