满射函数，简称满射，是输出覆盖整个指定目标集合的函数。若 (f:A\to B)，则满射性意味着：对于 (B) 中的每个元素，都至少存在一个 (A) 中的元素 (x)，使其等于 (f(x))。多个输入可以产生相同的输出；满射性要求的是覆盖全部目标元素，而不是输入的唯一性。它是集合论中用于对函数进行分类的基本性质之一。(jirka.org)
定义及其对陪域的依赖
对于函数 (f:A\to B)，(A) 是其定义域，(B) 是其陪域。(A) 的像为 [ f(A)={f(x):x\in A}. ] 函数为满射，当且仅当 (f(A)=B)。等价地， [ \forall y\in B;\exists x\in A:\quad f(x)=y. ] 量词的顺序很重要：合适的输入可以随所选的输出而变化。(jirka.org)
因此，满射性取决于陪域，而不只是函数的表达式。例如，(x\mapsto x^2) 作为从实数集到 (\mathbb R) 的函数，并不是满射，因为输出不可能是负数。同一对应规则却可以定义一个满射 (\mathbb R\to[0,\infty))。更一般地，任何函数只要将陪域限制为它的像，而不改变定义域或函数值，就会成为满射。(richardhammack.github.io)
对于 (y\in B)，集合 [ f^{-1}({y})={x\in A:f(x)=y} ] 称为 (y) 上的纤维。满射性恰好意味着每个纤维都非空。这种原像记号并不要求反函数存在。(ocw.mit.edu)
示例与证明方法
以下例子说明了集合的选择如何影响满射性：
- (f:\mathbb R\to\mathbb R)，(f(x)=x^3)，是满射：对于任意 (y)，输入 (x=\sqrt[3]{y}) 都满足 (f(x)=y)。
- (f:\mathbb R\to\mathbb R)，(f(x)=2x+1)，是满射，因为 (x=(y-1)/2) 可以产生任意指定的 (y)。
- (f:\mathbb Z\to\mathbb Z)，(f(n)=2n)，不是满射，因为输出不可能是奇整数。若将陪域改为偶整数集 (2\mathbb Z)，它就是满射。
这些结论都可以通过直接应用定义，并在指定的定义域中求解输出方程而得出。(richardhammack.github.io)
满射性的标准数学证明从任取一个 (y\in B) 开始，构造一个 (x\in A)，并验证 (f(x)=y)。证明必须同时说明所构造的输入属于定义域，并且确实产生所需的输出。要证明函数不是满射，只需在陪域中找出一个没有原像的元素作为反例。(richardhammack.github.io)
对于有限集合，箭头图提供了一种直接的检验方法：陪域中的每个元素都必须至少有一个箭头指向它。当陪域是无限集合时，仅检查部分选定的输出并不能证明满射性。(richardhammack.github.io)
与单射性及基数的关系
单射函数将不同的输入映射到不同的输出。双射函数既是单射又是满射，因此陪域中的每个元素都恰好有一个原像。由此可见，满射性表达的是输入的存在性，而单射性表达的是输入存在时的唯一性。一个函数存在双侧逆函数，当且仅当它是双射。(homepages.ucl.ac.uk)
对于有限集合，存在满射 (A\to B) 必须满足 [ |A|\geq |B|. ] 如果两个集合具有相同的有限基数，那么它们之间的函数是满射，当且仅当它是单射。这种等价关系对无限集合不成立。在自然数集 (\mathbb N={0,1,2,\ldots}) 上，后继函数 (n\mapsto n+1) 是单射，但其输出不包含 (0)。反过来，将 (0) 映射到 (0)、将 (n\geq1) 映射到 (n-1) 的函数是满射，却将 (0) 和 (1) 都映射到 (0)。(richardhammack.github.io)
复合与右逆
满射性在函数复合下保持不变。若 (f:A\to B) 和 (g:B\to C) 都是满射，则 (g\circ f) 也是满射：先选择一个能产生所需 (c) 的 (b)，再选择一个能产生 (b) 的 (a)。如果 (g\circ f) 是满射，那么 (g) 必须是满射，但 (f) 不一定是。(richardhammack.github.io)
(f) 的右逆，也称截面，是满足 [ f\circ s=\operatorname{id}_B ] 的函数 (s:B\to A)。右逆的存在意味着 (f) 是满射，因为 (s(y)) 为每个 (y) 提供了一个原像。反过来，构造截面需要从每个纤维中选出一个元素。在集合论中，“每个满射都有右逆”这一命题与选择公理等价。如果陪域有限，就只需要进行有限次选择，因此这种情形不需要选择公理。(webhomes.maths.ed.ac.uk)
线性代数与商集构造
在线性代数中，线性映射 (T:V\to W) 是满射，当且仅当它的像是整个目标向量空间。对于一个 (m\times n) 矩阵 (M)，以 (\mathbb R^m) 为陪域的映射 (x\mapsto Mx) 是满射，当且仅当其列向量张成 (\mathbb R^m)；等价地，(M) 的矩阵的秩为 (m)。因此，线性方程组 (Mx=b) 对每个 (b) 都有解。对于维数相同的有限维空间，秩—零化度定理表明满射性与单射性等价。(math.mit.edu)
满射也可以用来描述将元素视为相同的过程。在 (A) 上定义一个等价关系：当 (f(x)=f(x')) 时，令 (x\sim x')。其等价类就是非空纤维。投影 (A\to A/{\sim}) 是满射，而诱导映射 [ A/{\sim}\longrightarrow f(A),\qquad [x]\longmapsto f(x) ] 是双射。当 (f) 是满射时，(f(A)=B)：将输出相同的输入视为等价后，所得等价类与陪域中的元素恰好一一对应。(whitman.edu)