线性变换 · aiwiki.page

线性变换是向量空间之间保持向量加法和标量乘法的函数。它描述的是与向量的代数结构相容的变换，无论这些向量是坐标序列、多项式还是函数。线性变换也称为线性映射，是线性代数的核心研究对象。定义域与目标空间的维数不必相同；当二者是同一个向量空间时，这种变换通常称为线性算子。(dummit.cos.northeastern.edu)

定义与基本性质

设 $V$ 和 $W$ 是同一域（数学） $F$ 上的向量空间。若对任意 $u,v\in V$ 和 $a,b\in F$ ，映射 $T:V\to W$ 都满足

T(au+bv)=aT(u)+bT(v),

则称 $T$ 为线性映射。

等价地，它同时满足可加性 $T(u+v)=T(u)+T(v)$ 和齐次性 $T(av)=aT(v)$ 。这些条件意味着 $T(0)=0$ ，并且任意有限线性组合都得到保持：

T\left(\sum_{i=1}^{k}a_iv_i\right) =\sum_{i=1}^{k}a_iT(v_i).

因此，线性变换完全由它在定义域的一组基（线性代数）上的取值决定。反过来，为一组基中的每个向量任意指定一个目标空间中的向量，就能确定唯一的线性变换。线性变换不要求保持长度、角度或向量的乘法。(math.mit.edu)

矩阵表示

对于有限维空间，选定有序基后，就可以用矩阵表示线性变换。若 $V$ 的维数（向量空间）为 $n$ ， $W$ 的维数为 $m$ ，则表示矩阵 $A$ 有 $m$ 行、 $n$ 列。它的第 $j$ 列由 $T(v_j)$ 在所选的 $W$ 的基下的坐标组成。因此，

[T(v)]_W=A[v]_V,

其中方括号表示坐标列向量。在标准坐标下，这一关系写成 $T(x)=Ax$ 。每个 $m\times n$ 矩阵都定义了一个线性变换 $F^n\to F^m$ 。(opentext.uleth.ca)

变换是抽象的映射，而它的矩阵则取决于所选的基。对于算子 $T:V\to V$ ，更换基后，新旧矩阵之间满足矩阵相似关系：

A'=P^{-1}AP,

其中 $P$ 将新坐标转换为旧坐标。矩阵的元素可能改变，但秩、行列式和特征值等内在性质不会改变。(dummit.cos.northeastern.edu)

几何示例与仿射映射

在实坐标空间中，线性变换包括缩放、绕原点旋转、关于包含原点的子空间的反射、剪切和投影。例如，平面内逆时针旋转角度 $\theta$ 的矩阵为

R_\theta= \begin{pmatrix} \cos\theta&-\sin\theta\\ \sin\theta&\cos\theta \end{pmatrix},

而水平剪切的矩阵为

S= \begin{pmatrix} 1&k\\ 0&1 \end{pmatrix}.

这一剪切将 $(x,y)$ 映射为 $(x+ky,y)$ ，改变形状而不引入平移。到水平轴的正交投影将 $(x,y)$ 映射为 $(x,0)$ ，舍弃其中一个坐标。(math.mit.edu)

线性变换将直线映射为直线或一个点，并且始终保持原点不动。仿射映射具有更一般的形式 $x\mapsto Ax+b$ 。它是线性的，当且仅当 $b=0$ 。因此，在普通坐标下，平移不是线性变换；不过，借助齐次坐标，可以用更大的矩阵表示仿射映射，使其在扩充后的坐标空间上线性地作用。(groups.csail.mit.edu)

核、像与秩

两个相关的子空间分别描述了变换丢失了什么，以及它能产生什么。变换的核（线性映射）为

\ker T=\{v\in V:T(v)=0\},

其像（线性映射）为

\operatorname{im}T=\{T(v):v\in V\}.

二者分别是 $V$ 和 $W$ 的线性子空间。变换是单射函数，当且仅当其核为 $\{0\}$ ；变换是满射函数，当且仅当其像等于 $W$ 。(ximera.osu.edu)

像的维数称为秩，核的维数称为零化度。对于有限维的定义域，秩—零化度定理指出

\dim V=\dim(\ker T)+\dim(\operatorname{im}T).

变换的秩等于它的任意表示矩阵的秩。从几何上看，零化度表示被压缩为零的独立输入方向的个数，而秩表示独立输出方向的个数。对于 $T(x,y,z)=(x,y)$ ，核是 $z$ 轴，像是整个坐标平面，并且 $3=1+2$ 。(ximera.osu.edu)

复合、逆与特征向量

线性变换的函数复合仍是线性变换。选取相容的基时，复合对应于矩阵乘法：先应用 $T$ ，再应用 $S$ ，所得矩阵为 $A_SA_T$ 。双射线性变换的逆也是线性的，因此它是向量空间之间的同构。对于有限维空间上的算子，可逆性等价于其矩阵的行列式非零。(dummit.cos.northeastern.edu)

对于算子 $T:V\to V$ ，特征值与特征向量刻画了所在方向保持不变的非零向量：

T(v)=\lambda v.

如果一组基完全由特征向量组成，那么算子在这组基下的矩阵就是对角矩阵。这种矩阵对角化可以简化变换的反复应用，因为只需将对角元素分别取相应次幂，就能得到对角矩阵的幂。并非每个算子在其所用的域上都具有由特征向量组成的基。(math.uchicago.edu)

函数空间与连续性

线性性并不限于几何向量。在适当的可微函数空间上，求导定义了一个线性变换，因为

D(af+bg)=aDf+bDg.

在多项式空间上，求导会降低次数，并将常数多项式映射为零。这些例子说明，以函数空间中的元素为自变量的映射是否具有线性性，与某个函数自身的图像是否为直线，是两回事。(dummit.cos.northeastern.edu)

在泛函分析中，对于赋范向量空间之间的线性变换，还需考虑连续性。线性映射连续，当且仅当存在某个有限常数 $C$ ，使每个 $v$ 都满足 $\|T(v)\|\le C\|v\|$ 。定义域为有限维赋范空间的线性映射总是连续的，但在无限维空间中未必如此；仅有代数意义上的线性性并不能保证这样的界存在。(users.oden.utexas.edu)