赋范向量空间是配备了范数的向量空间；范数是为每个向量赋予非负大小、并与加法及标量乘法相容的函数。其标量通常取自实数或复数。范数给出了距离，从而使收敛性和连续性能够与代数运算一同加以讨论。赋范空间是泛函分析的基本研究对象，既包括有限维坐标空间，也包括由函数或序列构成的无限维空间。(ocw.mit.edu)
定义与基本性质
设 (V) 是域 (\mathbb F=\mathbb R) 或 (\mathbb C) 上的向量空间。范数是一个函数 [ |\cdot|:V\longrightarrow[0,\infty), ] 对任意 (x,y\in V) 和标量 (\alpha)，它满足：
- 正定性： (|x|=0) 当且仅当 (x=0)。
- 绝对齐次性： (|\alpha x|=|\alpha||x|)。
- 三角不等式： (|x+y|\leq|x|+|y|)。
赋范空间由二元组 ((V,|\cdot|)) 确定，而不只是由底层向量空间确定。上述公理蕴含反三角不等式： [ \bigl||x|-|y|\bigr|\leq|x-y|. ] 如果放宽正定性要求，允许非零向量的大小为零，那么这样的函数称为半范数。将半范数为零的向量所构成的子空间商去，就得到一个赋范空间。(live.ocw.mit.edu)
度量与拓扑
每个范数都通过 [ d(x,y)=|x-y| ] 定义一个度量，使该空间成为度量空间。这一度量具有平移不变性，并满足 (d(\alpha x,\alpha y)=|\alpha|d(x,y))。其开球 [ B(x,r)={y\in V:|y-x|<r},\qquad r>0, ] 生成范数拓扑：一个子集是开集，当且仅当其中每一点都位于某个完全包含在该子集中的开球内。(maths.ox.ac.uk)
当 (|x_n-x|\to0) 时，称序列 (x_n) 依范数收敛于 (x)。向量加法和标量乘法在这一拓扑下都是连续的。反三角不等式还表明，范数本身是一个连续的实值函数，而且满足 Lipschitz 常数为 1 的条件。这些事实保证了取极限与向量空间运算相容。(people.math.harvard.edu)
常见例子
在 (\mathbb F^n) 上，常见的范数包括 [ |x|1=\sum{j=1}^{n}|x_j|,\qquad |x|2=\left(\sum{j=1}^{n}|x_j|^2\right)^{1/2}, \qquad |x|_\infty=\max_j|x_j|. ] 第二个范数诱导欧几里得距离。这些范数以不同方式衡量同一个向量；在 (\mathbb R^2) 中，它们的单位球依次为菱形、圆盘，以及边与坐标轴平行的正方形。更一般地，当 (1\leq p<\infty) 时，((\sum_j|x_j|^p)^{1/p}) 是一个范数。(maths.ox.ac.uk)
重要的无限维例子包括：
- 序列空间： (\ell^p) 由满足 (\sum_j|x_j|^p<\infty) 的序列 (x=(x_j)) 构成，配备与上式类似的 (p)-范数。空间 (\ell^\infty) 由有界序列构成，配备上确界范数。
- 连续函数： (C([a,b])) 是紧区间上的标量值连续函数所构成的空间，其范数为 (|f|\infty=\max{t\in[a,b]}|f(t)|)。
- 可积函数： Lp空间在 (1\leq p<\infty) 时使用范数 (|f|_p=(\int|f|^p,d\mu)^{1/p})。其元素是按几乎处处相等这一关系划分的函数等价类，这样便保证了正定性成立。(ocw.mit.edu)
完备性与巴拿赫空间
如果赋范空间中的每个柯西序列都收敛于该空间中的某个元素，就称该空间是完备的。完备的赋范空间称为巴拿赫空间。完备性是一项额外条件，并不能由范数公理推出。配备上述范数的空间 (\ell^p)、(L^p) 和 (C([a,b])) 都是巴拿赫空间。(ocw.mit.edu)
作为不完备的例子，可以考虑配备 (\ell^2) 范数的有限支撑序列空间。对序列 ((2^{-j})_{j\geq1}) 逐次截断，所得序列构成一个柯西序列，但其极限并非有限支撑序列。每个赋范空间都存在完备化：即一个巴拿赫空间，其中包含原空间的一个等距副本，且该副本是稠密子空间。在保持所嵌入的原空间不变的等距线性同构意义下，这一完备化是唯一的。(ocw.mit.edu)
等价范数与维数
如果存在常数 (c,C>0)，使得 [ c|x|_a\leq|x|_b\leq C|x|_a \quad\text{对所有 }x\in V\text{ 成立}, ] 则称 (V) 上的两个范数等价。等价范数诱导相同的拓扑，具有相同的收敛序列和柯西序列，因此也保持完备性不变。在维数有限的空间上，任意两个范数都等价，而且每个有限维赋范空间都是完备的。(people.math.harvard.edu)
这些性质在无限维情形下一般不再成立。在有限支撑序列空间上，(|\cdot|1) 和 (|\cdot|\infty) 并不等价：一个有 (n) 个分量等于 1、其余分量为零的向量，在这两个范数下的值分别为 (n) 和 (1)。有限维与无限维之间的另一项区别涉及紧性：赋范空间的闭单位球在范数拓扑下是紧的，当且仅当该空间是有限维的。(maths.ox.ac.uk)
线性算子、子空间与商空间
赋范空间之间的线性映射 (T:V\to W) 连续，当且仅当它有界，即存在某个 (M\geq0)，使得 [ |Tx|_W\leq M|x|V. ] 其算子范数为 [ |T|=\sup{|x|_V\leq1}|Tx|_W. ] 只要 (W) 是巴拿赫空间，有界线性映射所构成的空间就是巴拿赫空间。特别地，由有界线性泛函 (V\to\mathbb F) 构成的连续对偶空间总是巴拿赫空间，即使 (V) 本身并不完备。(ocw.mit.edu)
每个线性子空间都继承所在空间的范数。巴拿赫空间的子空间完备，当且仅当它是闭的。对于闭子空间 (Y\subseteq V)，商向量空间配备范数 [ |x+Y|=\inf_{y\in Y}|x-y|. ] 如果 (V) 是巴拿赫空间，那么这个商空间也是巴拿赫空间。(live.ocw.mit.edu)
与内积空间的关系
内积通过 (|x|=\sqrt{\langle x,x\rangle}) 诱导范数，但并非每个范数都来自内积。判断范数是否由内积诱导的充要条件是平行四边形恒等式： [ |x+y|^2+|x-y|^2 =2|x|^2+2|y|^2. ] 当这一恒等式成立时，可以通过极化恒等式恢复唯一的、诱导该范数的内积。完备的内积空间称为希尔伯特空间，因此它也是具有这一额外几何结构的巴拿赫空间。(maths.ox.ac.uk)