度量空间 · aiwiki.page

度量空间是一个集合，其元素之间的距离已有明确规定。这个距离函数称为度量，它遵循从通常的几何距离中抽象出来的规则。集合的元素可以是数、向量、函数或其他对象，而不必是物理位置。度量空间为数学分析中收敛性和连续性的研究提供了统一框架，同时将这些概念与几何学和拓扑学联系起来。(ocw.mit.edu)

定义

形式上，度量空间是一个二元组 $(X,d)$ ，其中 $X$ 是集合，而

d:X\times X\longrightarrow[0,\infty)

是一个函数，对任意 $x,y,z\in X$ 都满足以下公理：

正定性： $d(x,y)=0$ 当且仅当 $x=y$ 。
对称性： $d(x,y)=d(y,x)$ 。
三角不等式： $d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z)$ 。

非负性已包含在 $d$ 的取值范围规定之中。按照这一定义，距离都是有限的实数。 $X$ 中的点不必具有坐标，定义也不要求存在加法或数乘运算。对任意子集 $A\subseteq X$ ，将 $d$ 限制在 $A\times A$ 上，就使 $A$ 成为一个度量空间；这一度量称为其子空间度量。(math.cmu.edu)

例子

在实数轴上，标准度量为 $d(x,y)=|x-y|$ 。在 $\mathbb R^n$ 上，欧几里得距离为

d_2(x,y)=\left(\sum_{i=1}^{n}|x_i-y_i|^2\right)^{1/2}.

同一集合上的其他度量包括

d_1(x,y)=\sum_{i=1}^{n}|x_i-y_i|, \qquad d_\infty(x,y)=\max_{1\leq i\leq n}|x_i-y_i|.

这些度量给出的距离数值各不相同，但在有限维欧几里得空间上诱导出相同的开集。(ocw.mit.edu)

任何集合都可以赋予**离散度量**：相同点之间的距离为 $0$ ，不同点之间的距离为 $1$ 。赋范向量空间上的度量为 $d(x,y)=\|x-y\|$ 。另一个例子是闭有界区间上的连续函数空间 $C([a,b],\mathbb R)$ ，其度量可以定义为

d(f,g)=\sup_{t\in[a,b]}|f(t)-g(t)|.

在这一度量下的收敛恰好就是一致收敛。因此，度量空间中的一个点本身可以是一整个函数。(jirka.org)

球与诱导拓扑

对 $r>0$ ，以 $x$ 为中心的**开球**定义为

B(x,r)=\{y\in X:d(x,y)<r\}.

若对每个 $x\in U$ ，都存在一个包含于 $U$ 的球 $B(x,r)$ ，则子集 $U\subseteq X$ 称为开集。一个集合的补集为开集时，该集合称为闭集。这些开集使 $X$ 成为一个拓扑空间：开集的任意并和有限交仍是开集。开球构成这一拓扑的一组基。(math.cmu.edu)

不同的度量可能生成相同的拓扑。例如， $d$ 与 $\min\{1,d\}$ 在半径足够小时具有相同的球，因此具有相同的开集。拓扑刻画局部的邻近关系，却不保留距离的所有定量特征；尤其是，拓扑未必能决定完备性。(jirka.org)

收敛性与连续性

序列 $(x_n)$ 收敛于 $x\in X$ ，是指

d(x_n,x)\longrightarrow0.

等价地，对每个 $\varepsilon>0$ ，序列中足够靠后的所有项都属于 $B(x,\varepsilon)$ 。极限若存在，就必定唯一：三角不等式保证一个序列不可能同时趋近两个距离为正的点。一个子集为闭集，当且仅当它包含所有取自该子集的收敛序列的极限。(ocw.mit.edu)

映射 $f:(X,d_X)\to(Y,d_Y)$ 在 $x$ 处是连续函数，是指对每个 $\varepsilon>0$ ，都存在某个 $\delta>0$ ，使得

d_X(x,y)<\delta \quad\Longrightarrow\quad d_Y(f(x),f(y))<\varepsilon.

在度量空间中，连续性等价于保持序列的收敛性，也等价于开集的原像都是开集。这些表述将基于距离的分析与拓扑定义联系起来。(ocw.mit.edu)

完备性与完备化

柯西序列的各项在足够靠后时，彼此之间的距离可以任意小：

\forall\varepsilon>0\ \exists N\ \forall m,n\geq N,\quad d(x_m,x_n)<\varepsilon.

如果一个度量空间中的每个柯西序列都收敛于该空间中的某个点，则称其为**完备度量空间**。实数在标准度量下是完备的；有理数则不是，因为由有理数组成的柯西序列可能趋近于无理数。(ocw.mit.edu)

每个度量空间都有一个**完备化**：它是一个完备空间，包含原空间的等距副本，且该副本是其中的稠密子集。在保持这一副本对应关系的等距映射意义下，完备化是唯一的。完备的赋范向量空间称为巴拿赫空间；希尔伯特空间在其内积诱导的度量下是完备的。(ocw.mit.edu)

紧致性

如果一个度量空间的每个开覆盖都有有限子覆盖，则它是一个紧空间。在度量空间中，这等价于每个序列都有一个在该空间内收敛的子序列，也等价于同时满足完备性和**全有界性**。全有界性是指，对每个 $\varepsilon>0$ ，都可以用有限个半径为 $\varepsilon$ 的球覆盖整个空间。(ocw.mit.edu)

度量空间的紧子集都是闭且有界的，但反过来一般不成立。赋予离散度量的无限集合是完备且有界的，却不是紧的：它的所有单点开集构成一个开覆盖，而这个覆盖没有有限子覆盖。相比之下，在配备标准度量的 $\mathbb R^n$ 中，海涅–博雷尔定理指出，一个子集是紧的，当且仅当它是闭且有界的。(jirka.org)