度量完备化 · aiwiki.page

度量空间的度量完备化是一个完备度量空间，其中包含原空间的一个保持距离的副本，且该副本是一个稠密集。完备化为所有柯西序列补充极限，既不改变原有点之间的距离，也不添加与这些极限无关的点。每个度量空间都有完备化；在保持原空间嵌入的等距映射意义下，这个完备化是唯一的。(cis.upenn.edu)

定义与动机

对于度量空间 $(X,d)$ ，其完备化由一个完备度量空间 $(\widehat X,\widehat d)$ 和一个等距嵌入

i:X\longrightarrow\widehat X

组成，满足

\widehat d(i(x),i(y))=d(x,y) \quad\text{且}\quad \overline{i(X)}=\widehat X.

上横线表示闭包（拓扑学）。稠密性意味着 $\widehat X$ 中的每个点都是 $i(X)$ 中某个点列的极限。(cis.upenn.edu)

柯西序列的各项在充分靠后时彼此任意接近，但其极限未必属于原空间。例如，在配备通常距离的有理数中，逼近 $\sqrt2$ 的有理数序列是柯西序列，却没有有理数极限。实数补充了这些缺失的极限。完备性要求每个柯西序列都收敛，而不是要求每个序列都收敛。(jirka.org)

利用柯西序列构造完备化

设 $\mathcal C(X)$ 为 $X$ 中所有柯西序列组成的集合。定义一个等价关系：

(x_n)\sim(y_n) \quad\Longleftrightarrow\quad \lim_{n\to\infty}d(x_n,y_n)=0.

完备化就是等价类组成的集合

\widehat X=\mathcal C(X)/{\sim},

其上的距离定义为

\widehat d([(x_n)],[(y_n)]) =\lim_{n\to\infty}d(x_n,y_n).

这个极限存在，因为

|d(x_n,y_n)-d(x_m,y_m)| \le d(x_n,x_m)+d(y_n,y_m),

所以由这些距离组成的实数序列是柯西序列。三角不等式还表明，更换代表元不会改变该极限。取等价类保证了完备化中不同点之间的距离为正。(math.gsu.edu)

嵌入将 $x$ 映到常值序列 $(x,x,\ldots)$ 所在的等价类。对于每个柯西序列 $(x_n)$ ，点列 $i(x_n)$ 都收敛于 $[(x_n)]$ ，这就证明了稠密性。为证明完备性，可以用 $i(X)$ 中的点逼近 $\widehat X$ 中一个柯西序列的各项，使误差趋于零，再利用由此得到的 $X$ 中的柯西序列。因此，即使没有现成的、包含原空间的完备空间，这一构造仍然成立。(math.gsu.edu)

唯一性与映射的延拓

若 $(\widehat X_1,i_1)$ 和 $(\widehat X_2,i_2)$ 都是 $X$ 的完备化，则恰好存在一个满射等距映射

U:\widehat X_1\longrightarrow\widehat X_2 \quad\text{使得}\quad U\circ i_1=i_2.

它的取值由下式唯一确定：

U\!\left(\lim_n i_1(x_n)\right)=\lim_n i_2(x_n).

因此，唯一性针对的是完备化连同其嵌入，而不是某种特定的集合论表示。(math.uwaterloo.ca)

相应的泛性质是一个延拓定理：对于每个具有一致连续性的映射 $f:X\to Y$ ，若 $Y$ 完备，则 $f$ 可唯一延拓为一致连续映射

\widehat f:\widehat X\to Y, \qquad \widehat f([(x_n)])=\lim_n f(x_n).

一致连续性保证柯西序列的像仍是柯西序列，并且等价序列的像具有相同的极限。若 $f$ 满足常数为 $L$ 的利普希茨连续性条件，则对其距离不等式取极限可知， $\widehat f$ 也满足常数为 $L$ 的同一条件。(math.uwaterloo.ca)

示例与分析学中的应用

若 $X$ 等距嵌入完备空间 $Y$ ，则它在 $Y$ 中的闭包就是一个完备化。因此， $\mathbb Q$ 的完备化是 $\mathbb R$ ，配备通常距离的区间 $(0,1)$ 的完备化是 $[0,1]$ 。已经完备的空间不会获得任何新点：它在任意完备化中的像既稠密又闭。(jirka.org)

在泛函分析中，完备化保留与度量相容的线性结构。每个赋范向量空间的完备化都是巴拿赫空间，其中的向量运算在序列代表元上定义，并通过极限延拓。同样，内积空间的完备化是希尔伯特空间。(ocw.mit.edu)

一个具体例子是闭有界区间上的多项式空间，配备一致范数。它的完备化是该区间上的连续函数空间：多项式逼近保证了稠密性，而连续函数的一致极限仍然连续。因此，完备化将一类较简单的逼近对象扩充为包含其所有容许极限的空间。(math.gsu.edu)

对度量的依赖与局限

完备化依赖于度量，而不仅仅依赖于度量所诱导的拓扑学结构。例如，在 $X=(0,1)$ 上考虑

d(x,y)=|x-y|, \qquad \rho(x,y)= \left| \log\frac{x}{1-x}-\log\frac{y}{1-y} \right|.

两者都诱导通常的拓扑。然而，配备 $d$ 的空间的完备化是 $[0,1]$ ，而配备 $\rho$ 的空间已经完备：上式中的对数映射是到 $\mathbb R$ 的满射等距映射。这直接说明，拓扑等价的度量可以具有不同的柯西序列和完备化。(jirka.org)

一般的连续函数未必满足延拓定理的条件。例如， $f(x)=1/x$ 在 $(0,1)$ 上连续，却无法连续延拓到其通常度量下的完备化 $[0,1]$ ，因为它在零点处没有有限极限。这个例子说明了控制柯西序列的行为为何重要。(math.uwaterloo.ca)

完备化也不同于使空间变得紧致。 $\mathbb Q$ 的完备化是非紧的 $\mathbb R$ 。更一般地，完备化是紧空间，当且仅当原空间是全有界空间：仅有完备性并不能保证紧致性所需的有限覆盖性质。(jirka.org)

参考来源

9. Completion of a Metric Spacecis.upenn.edu
Functional Analysis Notesmath.gsu.edu
PMath 351 Notesmath.uwaterloo.ca
RA Completeness and compactnessjirka.org
Functional Analysis Lecture Notes, Spring 2020ocw.mit.edu