三角不等式 · aiwiki.page

三角不等式是几何学和数学分析中的一个基本关系，指出两点之间的距离不大于经由第三点的距离之和。对于距离函数 $d$ ，它的形式为 $d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z)$ 。绝对值和向量范数也有相应的表述。尽管三角不等式最初与三角形的边长有关，它也是抽象距离和范数的定义性质之一。(math.ucla.edu)

几何表述与起源

对于边长为 $a,b,c$ 的非退化欧几里得三角形，任意两边之和都严格大于第三边：

a<b+c,\qquad b<c+a,\qquad c<a+b.

这一经典表述见于《几何原本》第一卷命题20。欧几里得通过延长一条边、构造等腰三角形，并利用较大的角所对的边也较长这一关系加以证明。由此，一个看似直观的事实得到了演绎式的几何证明。(web.calstatela.edu)

如果允许任意选取点，包括共线或重合的点，恰当的表述就应使用“小于或等于”。对于欧几里得距离，在 $d(A,C)\leq d(A,B)+d(B,C)$ 中，等号成立当且仅当 $B$ 位于连接 $A$ 和 $C$ 的闭线段上。严格与非严格两种形式的区别，对应着非退化三角形与退化构形的区别。(maths.usyd.edu.au)

绝对值与复数

对于实数 $x,y$ ，三角不等式写为

|x+y|\leq |x|+|y|.

利用 $-|x|\leq x\leq |x|$ 以及 $y$ 的相应界限，即可给出一个初等证明。将两组不等式相加，得到 $-(|x|+|y|)\leq x+y\leq |x|+|y|$ 。等号成立当且仅当 $xy\geq0$ ，也就是说，两数同号，或至少有一个为零。(ms.uky.edu)

同一公式也适用于复数，其中实数的绝对值换为复数的模。将复数看作平面上的向量，这就成为欧几里得空间中的向量三角不等式。对于非零复数，等号在两者辐角相同时成立，即它们对应的向量指向同一方向。(sites.chemengr.ucsb.edu)

赋范向量空间与证明

范数用于衡量向量空间中向量的大小。赋范向量空间的定义条件之一是

\|u+v\|\leq\|u\|+\|v\|.

在这里，该不等式是这一抽象结构的一条公理。不过，要判断一个给定公式是否定义了范数，就必须验证这一条件，而不能仅仅假定它成立。(blogs.ncl.ac.uk)

对于由内积诱导的范数，可以利用柯西—施瓦茨不等式给出如下数学证明：

\begin{aligned} \|u+v\|^2 &=\|u\|^2+2\operatorname{Re}\langle u,v\rangle+\|v\|^2\\ &\leq \|u\|^2+2\|u\|\|v\|+\|v\|^2\\ &=(\|u\|+\|v\|)^2. \end{aligned}

两边取非负平方根，即得所需结论。这个证明对实内积空间和复内积空间都适用。(sites.chemengr.ucsb.edu)

在欧几里得空间中，除非至少有一个向量为零，否则等号成立要求一个向量是另一个向量的非负标量倍数。其他范数的等号成立条件可能不同。例如，对于范数 $\|(x_1,x_2)\|_1=|x_1|+|x_2|$ ，向量 $(1,0)$ 和 $(0,1)$ 虽然线性无关，却仍能使等号成立。(maths.usyd.edu.au)

度量空间与反三角不等式

度量空间是配备了距离函数的集合，该函数满足非负性、不同点之间距离为正、对称性以及三角不等式。每个范数都可以通过

d(x,y)=\|x-y\|

定义一个度量，因为 $x-z=(x-y)+(y-z)$ 。一般的度量空间不一定具有向量加法、直线或角；其中的三角不等式仅仅是距离之间的关系。(math.ucla.edu)

一个有用的推论是反三角不等式：

\big|\|u\|-\|v\|\big|\leq\|u-v\|.

事实上，对 $u=(u-v)+v$ 应用通常的三角不等式可得到一侧的界，再交换 $u,v$ ，便得到另一侧的界。相应的度量形式为

|d(x,z)-d(y,z)|\leq d(x,y).

因此，范数以及到某个固定点的距离都具有常数为 $1$ 的利普希茨连续性；位置的微小变化不会使这些量产生更大的变化。这一结论可由上述不等式直接得出。(blogs.ncl.ac.uk)

推广与分析中的应用

反复应用三角不等式，并用数学归纳法加以严格论证，可得到有限和的不等式：

\left\|\sum_{k=1}^{n}v_k\right\| \leq\sum_{k=1}^{n}\|v_k\|.

同样，有限点链两端之间的距离不超过各相邻点之间的距离之和。这些都是两项形式的直接推广。(blogs.ncl.ac.uk)

对于Lp空间，三角不等式称为闵可夫斯基不等式。当 $1\leq p<\infty$ 时，

\|f\|_p=\left(\int |f|^p\,d\mu\right)^{1/p}, \qquad \|f+g\|_p\leq\|f\|_p+\|g\|_p.

这里的积分在相应的测度空间上进行。当 $p=\infty$ 时，使用本质上确界范数，这一结果也成立。对于 $1<p<\infty$ ，一种标准证明使用赫尔德不等式。(pi.math.cornell.edu)

在收敛性论证中，通过一个中间近似量拆分误差，可得

d(x_n,x)\leq d(x_n,y_n)+d(y_n,x).

因此，两个趋于零的量之和可以作为第三个量的上界。类似的估计是有关极限和柯西序列的推理的基础，使人们无需知道各项近似误差的方向或符号，也能对它们分别加以控制。(math.ucla.edu)