豪斯多夫空间

豪斯多夫空间是这样一种拓扑空间：任意两个不同的点都分别包含在两个互不相交的开邻域中。这一要求也称为 $T_2$ 条件，是拓扑学中的分离公理之一。它用开集而非数值距离来区分不同的点。豪斯多夫性尤为重要，因为它保证收敛极限的唯一性，并且与紧性一起构成若干关于连续映射的基本结论的基础。(people.math.osu.edu)

定义与分离公理

设 $X$ 是一个集合，$\tau$ 是其上的拓扑。如果对任意 $x,y\in X$，只要 $x\ne y$，就存在开集 $U,V\in\tau$，使得

则空间 $(X,\tau)$ 是豪斯多夫空间。这两个集合分别是相应点的开邻域（拓扑学）。它们互不相交这一点至关重要：仅仅为每个点找到一个不含另一个点的邻域，并不足以证明豪斯多夫性。(people.math.osu.edu)

每个豪斯多夫空间都是 $T_1$ 空间，也就是说，每个单点集都是闭集。证明如下：固定一点 $x$。对每个 $y\ne x$，由分离条件可找到一个不含 $x$ 的 $y$ 的开邻域；这些邻域的并集就是 $X\setminus\{x\}$。反过来则不成立。更强的条件要求能将点与闭集分离，或将两个闭集彼此分离，由此得到正则空间和正规空间的概念。不同文献的术语约定有所差异：有些作者将 $T_1$ 条件包含在这些定义中，另一些作者则将其单独列出。(math.ucla.edu)

例子与反例

每个度量空间都是豪斯多夫空间。若 $d(x,y)=r>0$，则由三角不等式可知，分别以 $x$ 和 $y$ 为中心、半径为 $r/3$ 的两个开球互不相交。因此，欧几里得空间都满足这一条件，其中也包括赋予通常拓扑的实数直线。(math.mit.edu)

赋予余有限拓扑的无限集是 $T_1$ 空间，但不是豪斯多夫空间。每个非空开集的补集都是有限集，因此任意两个非空开集都有交点。这说明，单点集为闭集，并不足以保证不同的点具有互不相交的邻域。(math.mit.edu)

双原点直线是另一个反例。取实数直线的两个副本，将其中对应的非零点认同，同时保留两个不同的原点。任一原点的每个邻域都包含足够靠近零的非零点，因此两个原点的邻域必然相交。这个例子也表明，豪斯多夫空间的商空间不一定仍是豪斯多夫空间。(math.mit.edu)

极限的唯一性

在豪斯多夫空间中，收敛序列恰有一个极限。如果一个序列同时收敛到两个不同的点 $x$ 和 $y$，那么取这两点互不相交的邻域 $U$ 和 $V$，序列从某一项起就必须同时落在这两个集合中，这是不可能的。(math.rice.edu)

要完整刻画豪斯多夫性，需要使用网，即以有向集为指标集的序列推广：

如果不同的两点 $x$ 和 $y$ 无法分离，就可以在它们的邻域交集中选取点，并按邻域逐渐细化的顺序排列，从而得到一个同时收敛到这两点的网。(math.rice.edu)

对于任意拓扑空间，仅有序列极限的唯一性并不能刻画豪斯多夫性。在一个赋予余可数拓扑的不可数集上，收敛序列都有唯一极限，但这个空间不是豪斯多夫空间。不过，对于第一可数空间，序列极限的唯一性确实能够刻画豪斯多夫性。(sam.nitk.ac.in)

闭对角线刻画

考虑赋予积拓扑的笛卡尔积 $X\times X$。它的对角线为

那么，$X$ 是豪斯多夫空间，当且仅当 $\Delta_X$ 是闭集。不同点的互不相交的邻域可构成一个与对角线不相交的开矩形。反过来，若 $(x,y)$ 有一个与对角线不相交的基本开矩形邻域，则这个矩形在两个坐标方向上的邻域互不相交。(math.mit.edu)

这一刻画凸显了豪斯多夫性是拓扑的一种整体性质：它描述的是相等关系在积空间中所处的情形，而不需要度量或坐标选择。积拓扑对于这一命题至关重要。(math.mit.edu)

紧性与连续映射

豪斯多夫空间的每个紧子集都是闭集。对于子集外的一点，将它与子集内的每一点分别分离；利用紧性，可以从由此得到的覆盖中选出有限多个邻域。将这些邻域所对应的外部点的邻域取交，就得到一个与整个子集不相交的开集。(math.mit.edu)

因此，从紧空间到豪斯多夫空间的映射，若既是连续函数又是双射函数，就是同胚。定义域中的闭子集是紧的，它们的像也是紧的，因而是闭集，这就保证了逆映射的连续性。这里的紧性是指每个开覆盖都有有限子覆盖；豪斯多夫性是一个附加条件，而不是紧性定义的一部分。(math.mit.edu)

在各种构造下的表现

豪斯多夫空间的每个子空间，在子空间拓扑下仍是豪斯多夫空间。任意一族豪斯多夫空间的积也是豪斯多夫空间：两个不同的元组必在某个坐标上不同，将该坐标中互不相交的邻域通过坐标投影取原像，就得到积空间中互不相交的邻域。(math.ucla.edu)

相比之下，连续像和商空间（拓扑学）不一定保留豪斯多夫性，双原点直线就是一个例子。即使原空间具有这种分离性质，将点认同后，也可能导致相应的等价类无法拥有互不相交的开邻域。(math.mit.edu)