邻域（拓扑学） · aiwiki.page

在拓扑学中，点的邻域是包含某个含有该点的开集的集合。它描述了拓扑空间中一个点的周围，而无须借助数值距离。邻域为定义连续性、收敛性及其他局部性质提供了一种语言。邻域本身不一定是开集；是开集的邻域称为开邻域。有些作者只用“邻域”指开邻域，因此需要注意所采用的约定。(pi.math.cornell.edu)

定义与例子

设 $(X,\tau)$ 为拓扑空间，且 $x\in X$ 。如果存在开集 $U\in\tau$ ，使得

x\in U\subseteq N,

则称子集 $N\subseteq X$ 为 $x$ 的邻域。等价地， $x$ 属于 $N$ 的内部。因此，包含 $x$ 是必要条件，但不是充分条件：该集合必须包含 $x$ 周围的一片开区域。一个集合是开集，当且仅当它是其中每一点的邻域。(math.berkeley.edu)

在实数的通常拓扑下， $(-1,1)$ 和 $[-1,1]$ 都是 $0$ 的邻域。后者是闭集，这说明邻域不一定是开集。然而， $[0,1]$ 不是 $\mathbb R$ 中 $0$ 的邻域，因为任何包含 $0$ 的开区间都不可能包含于其中。这些例子都可由定义直接得出。(pi.math.cornell.edu)

在度量空间 $(X,d)$ 中，这一定义可表述为

N\text{ 是 }x\text{ 的邻域} \quad\Longleftrightarrow\quad \text{存在 }\varepsilon>0\text{，使得 }B_d(x,\varepsilon)\subseteq N,

其中，开球定义为

B_d(x,\varepsilon)=\{y\in X:d(x,y)<\varepsilon\}.

在欧几里得空间中，这些开球就是熟悉的开区间、开圆盘和高维开球。邻域也可以包含一些额外的、距离较远的点；它们在几何形状上不一定像球。(pi.math.cornell.edu)

邻域系与公理

$x$ 的所有邻域组成的集合称为它的邻域系，记为 $\mathcal N(x)$ 。它是一个滤子：非空，不包含空集，对有限交封闭，并且包含其每个成员的所有超集。每个成员都包含 $x$ 。任意交则不一定仍是邻域；例如，

\bigcap_{n=1}^{\infty}(-1/n,1/n)=\{0\}

不是 $\mathbb R$ 中 $0$ 的邻域。(math.berkeley.edu)

邻域系可以通过公理直接定义拓扑。除了上述要求外，邻域系还满足一个局部相容性条件：对每个 $N\in\mathcal N(x)$ ，都存在 $M\in\mathcal N(x)$ ，满足 $M\subseteq N$ ，并且对每个 $y\in M$ ，都有 $N\in\mathcal N(y)$ 。此时，开集恰好是那些对每个 $x\in O$ 都满足 $O\in\mathcal N(x)$ 的集合 $O$ 。这种重建方式唯一地确定了拓扑。(math.berkeley.edu)

邻域基

$x$ 处的邻域基，也称局部基，是一个集合族 $\mathcal B_x\subseteq\mathcal N(x)$ ，使得 $x$ 的每个邻域都包含 $\mathcal B_x$ 的某个成员。它提供了足以检验局部条件的邻域，而不必考虑整个邻域系。邻域基的成员可以选为开集，但并不要求它们一定是开集。(fan.uni-wuppertal.de)

一个拓扑的基可以为每个点提供一个局部基：只需取所有包含该点的基元素。两者的区别在于，拓扑基描述整个空间中的开集，而邻域基描述某一个点的周围。(math.berkeley.edu)

第一可数空间的每个点都有一个至多含可数个成员的局部基。每个度量空间都具有这一性质，因为

\{B_d(x,1/n):n=1,2,\ldots\}

是 $x$ 处的局部基。第一可数性弱于整个拓扑具有可数基这一性质，后者称为第二可数性。(fan.uni-wuppertal.de)

连续性、收敛与闭包

函数 $f:X\to Y$ 在 $x$ 处连续，当且仅当对于 $f(x)$ 的每个邻域 $V$ ，都存在 $x$ 的一个邻域 $U$ ，使得

f(U)\subseteq V.

等价地， $f^{-1}(V)$ 是 $x$ 的邻域。只需利用局部基即可检验这一条件。(fan.uni-wuppertal.de)

如果 $x$ 的每个邻域都包含序列 $(x_n)$ 从某一项起的所有项，则称 $x$ 为该序列的极限。同一定义也适用于网，只需将自然数指标替换为有向指标集。网使得收敛能够用于描述任意拓扑，而仅靠序列可能并不足够。(math.berkeley.edu)

对于 $A\subseteq X$ ，点 $x$ 属于 $A$ 的闭包，当且仅当 $x$ 的每个邻域都与 $A$ 相交。在第一可数空间中，这等价于存在一个由 $A$ 中的点组成、收敛于 $x$ 的序列。同样，对于定义域为第一可数空间的函数，保持序列极限这一性质可以刻画连续性。这两种基于序列的刻画都不适用于所有拓扑空间。(sites.math.northwestern.edu)

对所在空间的依赖

邻域是相对于某个拓扑及所在空间而言的。若 $Y\subseteq X$ 配备子空间拓扑，则 $y\in Y$ 的邻域恰好是形如 $Y\cap N$ 的集合，其中 $N$ 是 $y$ 在 $X$ 中的邻域。因此，当 $0<\varepsilon\leq1$ 时， $[0,\varepsilon)$ 是 $[0,1]$ 中 $0$ 的开邻域，尽管它不是 $\mathbb R$ 中 $0$ 的邻域。(pi.math.cornell.edu)

邻域也可以用来表述分离性质。豪斯多夫空间是指任意两个不同的点都有互不相交的邻域的空间。这一条件保证了收敛的序列或网不可能有两个不同的极限。(math.ucla.edu)