闭包（拓扑学） · aiwiki.page

在拓扑学中，拓扑空间 $X$ 的子集 $A$ 的闭包是 $X$ 中包含 $A$ 的最小闭集，通常记为 $\overline{A}$ 、 $\operatorname{cl}(A)$ 或 $\operatorname{cl}_X(A)$ 。闭包包含原集合，以及所有无法通过开邻域与原集合分离的点。所在空间及其拓扑至关重要：同一个集合在不同空间中可能有不同的闭包。(maths.ed.ac.uk)

定义与邻域刻画

形式上，

\operatorname{cl}_X(A) = \bigcap\{F\subseteq X: F\text{ 在 }X\text{ 中是闭集},\ A\subseteq F\}.

这里取交集的集合族非空，因为它包含 $X$ 。闭集的任意交仍是闭集，因此上述表达式本身是闭集，也就确立了包含 $A$ 的最小闭集的存在性。特别地， $A$ 是闭集，当且仅当 $\operatorname{cl}_X(A)=A$ 。(sites.math.northwestern.edu)

另一种等价刻画使用邻域：

x\in\operatorname{cl}_X(A) \quad\Longleftrightarrow\quad U\cap A\ne\varnothing \text{ 对 }x\text{ 的每个开邻域 }U\text{ 都成立}.

因此， $x$ 不属于闭包，当且仅当存在一个包含 $x$ 且与 $A$ 不相交的开集。满足上述邻域条件的点称为 $A$ 的附着点或闭包点。(maths.ed.ac.uk)

闭包点应与聚点区分；对于聚点，每个邻域都必须与 $A\setminus\{x\}$ 相交。若用 $A'$ 表示聚点集，则

\overline{A}=A\cup A'.

因此， $A$ 的孤立点虽然不是聚点，却仍属于其闭包。这些刻画都不要求空间是豪斯多夫空间。(sites.math.northwestern.edu)

闭包算子

闭包定义了一个从 $X$ 的幂集到自身的映射。它的基本性质是库拉托夫斯基闭包公理：

\begin{aligned} \operatorname{cl}(\varnothing)&=\varnothing,\\ A&\subseteq\operatorname{cl}(A),\\ \operatorname{cl}(\operatorname{cl}(A))&=\operatorname{cl}(A),\\ \operatorname{cl}(A\cup B)&=\operatorname{cl}(A)\cup\operatorname{cl}(B). \end{aligned}

它们分别表达了保持空集、扩张性、幂等性以及保持有限并。反过来，任何作用于 $X$ 的子集并满足这些公理的算子，都确定了唯一的拓扑：其中的闭集恰好是满足 $\operatorname{cl}(F)=F$ 的子集 $F$ ，这些闭集的补集就是开集。(legacy-www.math.harvard.edu)

闭包还具有单调性：若 $A\subseteq B$ ，则 $\overline{A}\subseteq\overline{B}$ 。不过，它不一定保持交集或无限并。例如，在具有通常拓扑的实数直线上， $A=(0,1)$ 与 $B=(1,2)$ 的交集为空，而它们的闭包在 $1$ 处相交。同样，对所有正整数 $n$ ，闭单点集 $\{1/n\}$ 的并不是闭集：其闭包还包含 $0$ 。这些例子说明，有限并公理不能推广到任意并。(fan.uni-wuppertal.de)

度量空间与收敛

在度量空间 $(X,d)$ 中，邻域判据变为

x\in\overline{A} \quad\Longleftrightarrow\quad B(x,\varepsilon)\cap A\ne\varnothing \quad\text{ 对每个 }\varepsilon>0\text{ 都成立},

其中 $B(x,\varepsilon)$ 是一个开球。对于非空的 $A$ ，这等价于

d(x,A):=\inf_{a\in A}d(x,a)=0.

这个下确界不一定能取到：一个不属于 $A$ 的点，与 $A$ 的距离仍可能为零。(maths.ed.ac.uk)

在度量空间中，更一般地，在每个第一可数空间中，一个点属于 $\overline{A}$ ，当且仅当它是 $A$ 中某个点列的极限。在度量空间的情形下，可以选取 $a_n\in A\cap B(x,1/n)$ ，于是 $a_n\to x$ 。对于已经属于 $A$ 的点，取常值点列即可。(math.ucla.edu)

在任意拓扑空间中，点列的极限可能只能给出闭包的一部分。适用于一般情形的刻画使用网，即以有向集为指标的点列推广： $x\in\overline{A}$ ，当且仅当存在一个取值于 $A$ 的网收敛到 $x$ 。(fan.uni-wuppertal.de)

例子与对拓扑的依赖

在赋予通常拓扑的实数集上，

\overline{(0,1)}=[0,1], \qquad \overline{\mathbb Q}=\mathbb R, \qquad \overline{\mathbb R\setminus\mathbb Q}=\mathbb R.

因此，有理数集和无理数集都是 $\mathbb R$ 中的稠密集。一般来说，一个子集在 $X$ 中稠密，当且仅当它的闭包是 $X$ 。(maths.ed.ac.uk)

在离散拓扑中，每个子集都是闭集，都等于自身的闭包。在平庸拓扑中，闭集只有 $\varnothing$ 和 $X$ ，因此每个非空子集的闭包都是 $X$ 。这些情形表明，闭包描述的是拓扑意义上的接近，而不一定涉及数值距离。(math.mit.edu)

若 $A\subseteq Y\subseteq X$ ，且 $Y$ 赋予子空间拓扑，则

\operatorname{cl}_Y(A)=Y\cap\operatorname{cl}_X(A).

例如， $(0,1)$ 在 $\mathbb R$ 中的闭包是 $[0,1]$ ，而在 $Y=(0,2)$ 中的闭包是 $(0,1]$ 。(maths.ed.ac.uk)

内部与连续映射

闭包与内部通过取补集互为对偶：

\operatorname{cl}_X(A) = X\setminus\operatorname{int}_X(X\setminus A).

连续映射 $f:X\to Y$ 对每个 $A\subseteq X$ 都满足

f(\operatorname{cl}_X(A)) \subseteq \operatorname{cl}_Y(f(A)).

反过来，这一条件也刻画了连续性。这里不要求等号成立。例如，连续映射 $f(x)=e^x$ 将闭集 $\mathbb R$ 映到 $(0,\infty)$ ，而后者在 $\mathbb R$ 中的闭包还包含 $0$ 。(fan.uni-wuppertal.de)