在数学中，极限是指函数的自变量趋近于某个指定点，或序列的下标无限增大时，函数值或序列项所趋近的值。极限使“任意接近”这一概念有了精确的含义，而不要求函数值或序列项实际达到极限值。极限是微积分和数学分析的基础，用于定义连续性、微分、积分及无穷求和。(openstax.org)
函数的极限
对于实值函数 (f)，记号 [ \lim_{x\to a}f(x)=L ] 表示只要让 (x) 充分接近 (a)，但不等于 (a)，就能使 (f(x)) 任意接近 (L)。严格来说，ε–δ 定义要求：对每个 (\varepsilon>0)，都存在 (\delta>0)，使函数定义域内的每个 (x) 都满足 [ 0<|x-a|<\delta \quad\Longrightarrow\quad |f(x)-L|<\varepsilon. ] 点 (a) 必须是该定义域的聚点。量词的顺序至关重要：(\delta) 可以依赖于选定的误差容限 (\varepsilon)，但必须对所有满足条件的自变量值都有效。(openstax.org)
极限取决于某点附近的函数值，而不是该点本身的函数值。例如， [ \lim_{x\to1}\frac{x^2-1}{x-1}=2, ] 因为只要 (x\ne1)，这个商就等于 (x+1)。原表达式在 (1) 处没有定义；无论在该点赋予什么值，极限都不会改变。相比之下，在 (a) 处连续的连续函数满足 (\lim_{x\to a}f(x)=f(a))，这里的连续性是相对于其定义域而言的。(openstax.org)
单侧极限与无穷极限
单侧极限限定了趋近的方向。记号 (x\to a^-) 和 (x\to a^+) 分别表示从小于 (a) 的一侧和大于 (a) 的一侧趋近。当定义域在两侧都允许趋近时，有限的双侧极限存在，当且仅当两个单侧极限都存在且相等。因此，(|x|/x) 在零点处的左极限为 (-1)，右极限为 (1)，但不存在双侧极限。(openstax.org)
极限也可以描述自变量无限增大时的函数行为。例如， [ \lim_{x\to+\infty}\frac1x=0. ] 而无穷极限，如 (\lim_{x\to0}1/x^2=+\infty)，则表示函数值增大到超过任意给定的正数界限。这里的无穷并不是普通的实数，也不是有限的极限值。自变量趋于无穷时的有限极限对应一条水平渐近线，而自变量趋于某个有限点时的无穷极限则表明存在一条竖直渐近线。(openstax.org)
序列与级数
如果对每个 (\varepsilon>0)，都存在正整数 (N)，使得 [ n\ge N\quad\Longrightarrow\quad |a_n-L|<\varepsilon, ] 就称序列 ((a_n)) 收敛于 (L)。因此，从某一项开始的所有项，而不只是某些选定的项，都必须落在规定的误差范围内。序列 (1/n) 收敛于零，而 ((-1)^n) 不收敛，因为其偶数项子序列和奇数项子序列趋近于不同的值。收敛的实数序列具有唯一的极限，并且是有界的，但仅有有界性并不能保证收敛。(openstax.org)
无穷级数通过其部分和来定义： [ \sum_{n=1}^{\infty}a_n =\lim_{N\to\infty}\sum_{n=1}^{N}a_n, ] 前提是这个极限存在且为有限值。各项趋于零是级数收敛的必要条件，但不是充分条件；调和级数 (\sum 1/n) 就是发散的。柯西序列则要求，从足够靠后的某一项开始，任意两项之间都能任意接近。每个实数柯西序列都收敛，这体现了实数系的完备性。(ocw.mit.edu)
极限的运算法则与计算
有限极限遵循代数运算法则：和、差、积的极限，分别等于各自极限的和、差、积。当分母的极限不为零时，商的运算法则也适用。这些法则解释了为什么可以通过直接代入来求多项式的极限，以及为什么有理函数在分母不为零的点也可以直接代入。(openstax.org)
像 (0/0) 这样的表达式是未定式，而不是极限值。不同的表达式即使代入后都呈现这种形式，也可能具有不同的极限。因式分解、有理化或估计等方法可以揭示相关的变化趋势。夹逼定理指出，如果一个函数被夹在两个趋于同一值的函数之间，就可以确定它的极限。数值表和图像可以提示结果，但不能取代数学证明。(openstax.org)
在微积分及更广泛的分析中的作用
导数是差商的极限： [ f'(a)=\lim_{h\to0}\frac{f(a+h)-f(a)}h. ] 当这个有限极限存在时，导数刻画瞬时变化率。黎曼意义下的定积分是最大子区间长度趋于零时黎曼和的极限，并且要求无论如何选取取样点，都得到相同的极限值。(openstax.org)
在度量空间中，收敛定义中的绝对值由距离取代。拓扑学则通过邻域进一步推广这一概念。对于函数序列，逐点收敛允许在每个自变量值处分别检验收敛性，而一致收敛要求用同一个下标阈值控制整个定义域上的误差。这一区别决定了哪些性质能够在取极限后保留：连续函数序列的一致极限仍然连续，但逐点极限未必连续。交换极限与微分或积分的运算次序，需要满足额外条件。(math.colostate.edu)