曲线积分是沿曲线进行的积分，而不是在区间、区域或体积上进行的积分。在微积分中，它主要有两种形式：一种是对标量值函数关于弧长积分，另一种是对向量场的切向分量关于位移积分。尽管也称为“线积分”，积分路径并不一定是直线。曲线积分可用于描述细导线的质量、力所做的功以及沿闭合路径的环流等量。(openstax.org)
曲线与参数化
欧几里得空间中的曲线可以用参数化表示： [ \mathbf r:[a,b]\longrightarrow\mathbb R^n. ] 向量 (\mathbf r(t)) 表示位置，而它的导数 (\mathbf r'(t)) 表示切线方向及沿曲线运动的速率。初等讨论通常采用分段连续可微曲线，允许曲线在有限个连接点处出现尖角。参数增大的方向确定了曲线的定向。(openstax.org)
以下两种微分区分了曲线积分的主要类型： [ ds=|\mathbf r'(t)|,dt, \qquad d\mathbf r=\mathbf r'(t),dt. ] 其中，(ds) 是非负的弧长微元，范数在这里表示速率。相比之下，(d\mathbf r) 是有方向的位移微元。这一区别解释了为什么反转曲线方向不会改变标量的弧长积分，却会使向量场的功积分变号。(openstax.org)
标量曲线积分
对于定义在分段光滑曲线 (C) 上的连续函数 (f)，标量曲线积分为 [ \int_C f,ds
\int_a^b f(\mathbf r(t))|\mathbf r'(t)|,dt. ] 其构造方式与黎曼和类似：将曲线分成短弧段，把每段上选取的函数值乘以该段弧长，再对各项求和，并在分割不断加细时取极限。速率因子必不可少，因为相等的参数增量未必对应相等的路程。(openstax.org)
令 (f=1)，便得到 (C) 的长度。如果 (f=\lambda) 表示质量线密度，那么 [ m=\int_C\lambda,ds ] 给出的就是导线的质量。从数学上说，函数值可以为负，但物理上的质量密度是非负的。(openstax.org)
举一个简单的例子：沿半径为 (R>0) 的圆周绕行一圈，其参数化为 [ \mathbf r(t)=(R\cos t,R\sin t),\qquad 0\le t\le2\pi. ] 由于速率为 (R)，当线密度为常数 (\lambda_0) 时，质量为 [ m=\int_0^{2\pi}\lambda_0R,dt=2\pi R\lambda_0. ]
向量曲线积分与定向
对于连续向量场 (\mathbf F)，有向曲线积分为 [ \int_C\mathbf F\cdot d\mathbf r
\int_a^b\mathbf F(\mathbf r(t))\cdot\mathbf r'(t),dt. ] 点号表示欧几里得内积。等价地，被积表达式可以写为 (\mathbf F\cdot\mathbf T,ds)，其中 (\mathbf T) 是沿曲线定向的单位切向量。因此，只有平行于曲线切线的分量对积分有贡献。在经典力学中，以这种方式对力积分，得到的就是力所做的功（物理学）。(live.ocw.mit.edu)
在三维空间中，令 (\mathbf F=(P,Q,R))，则有 [ \int_C\mathbf F\cdot d\mathbf r =\int_C P,dx+Q,dy+R,dz. ] 保持定向的正则参数变换不会改变积分值；反转定向则会使积分变号。重复经过曲线并不只是改变参数化：每多经过一次，就会再次产生相应的积分贡献。(live.ocw.mit.edu)
这两种主要形式都对被积函数具有线性，并且对依次连接的曲线段具有可加性。闭合曲线上的积分通常记作 (\oint_C)；对于向量场，它度量的是环流。与弧长积分不同，环流的各部分贡献带有正负号，因此可能相互抵消。(live.ocw.mit.edu)
势函数与路径无关性
若 (\mathbf F=\nabla\phi)，其中 (\phi) 连续可微，则曲线积分基本定理给出 [ \int_C\nabla\phi\cdot d\mathbf r =\phi(B)-\phi(A), ] 其中 (A) 和 (B) 分别是起点和终点。因此，梯度场的积分与路径无关。证明时，先对 (\phi(\mathbf r(t))) 应用链式法则，再应用微积分基本定理。(openstax.org)
在连通的开域上，连续向量场的积分与路径无关，等价于其沿每一条分段光滑闭合路径的积分都为零，并且意味着存在标量势函数。对于保守力，力学中通常采用约定 (\mathbf F=-\nabla U)，因此所做的功等于势能的减少量。(openstax.org)
对定义域的假设十分重要。在单连通开域上，旋度为零的连续可微向量场是保守场；但如果定义域存在孔洞，仅有旋度为零未必能保证全局的路径无关性。拓扑学正是在这里进入这一理论的。(openstax.org)
边界定理
格林定理将平面上的环流转化为面积积分。若 (C) 是区域 (D) 的正向、简单、闭合且分段光滑的边界，并且 (P,Q) 在 (D) 的某个邻域内具有连续的偏导数，则 [ \oint_C P,dx+Q,dy
\iint_D \left(\frac{\partial Q}{\partial x} -\frac{\partial P}{\partial y}\right)dA. ] 其通量形式则将向量场沿边界的外法向分量的积分，与该向量场的散度在区域上的积分联系起来。(openstax.org)
在三维空间中，斯托克斯定理将沿有向曲面边界的环流，与旋度的曲面积分联系起来： [ \oint_{\partial S}\mathbf F\cdot d\mathbf r
\iint_S(\nabla\times\mathbf F)\cdot\mathbf n,dS. ] 边界方向与曲面法向必须具有相容的定向。这些恒等式使我们能够将难以计算的曲线积分，替换为区域或曲面上与之等价的积分。(openstax.org)