微积分是研究连续变化的数学分支，主要分为两部分。微分学研究瞬时变化率和曲线的斜率。积分学研究累积问题，如面积、体积和总量。微积分基本定理表明微分与积分互为逆运算，从而把两者联系起来。二者都建立在极限概念之上。微积分形成于17世纪，后来成为物理学、工程学以及许多其他定量学科的基本数学语言。它的严格理论基础属于数学分析的研究范围。
核心概念
极限描述的是：当自变量无限接近某一点时，函数值所趋近的值。连续、导数和积分都是用极限来定义的。
函数的**导数**衡量的是在某一点处，函数值相对于自变量变化的快慢。从几何上看，导数是函数图像在该点切线的斜率。从物理上看，速度是位置对时间的导数，加速度是速度对时间的导数。求导有一套标准法则，包括乘积法则、商法则和链式法则。导数可以用来求函数的极大值和极小值，因此是最优化问题的核心工具。
**积分**是把无穷多个无穷小的部分累加起来。定积分可以求出曲线下的面积、变力所做的功、变速运动的总路程等量。不定积分又称原函数或反导数，是导数等于给定函数的那个函数。
微积分基本定理包含两层意思。第一，对一个函数先积分再求导，会得到原来的函数。第二，计算定积分时，只需任取一个原函数，用它在两个端点处的函数值相减即可。在这一定理出现之前，求面积往往要靠巧妙的几何论证；在此之后，求面积基本上变成了一套系统化的程序。
无穷级数可以把函数表示为无穷多项之和。例如，泰勒级数把函数表示成一个无穷次的多项式。级数是近似计算和数值计算的基本工具。
早期历史
微积分思想的萌芽可以追溯到古代。在古希腊，阿基米德用穷竭法计算面积和体积。他用越来越精细的多边形逼近曲线图形，这种做法在思想上与积分十分接近。在中国，刘徽于3世纪用类似的多边形方法（割圆术）估算圆周率π。在14至15世纪的印度，以桑加马格拉马的马德哈瓦为开端的喀拉拉学派数学家求出了三角函数的无穷级数展开。
科学革命时期，人们对运动和曲线的兴趣迅速高涨。约翰内斯·开普勒、博纳文图拉·卡瓦列里、皮埃尔·德·费马、布莱兹·帕斯卡、约翰·沃利斯和艾萨克·巴罗等人发展出了求切线、求极值和求面积的方法。勒内·笛卡尔和费马创立的坐标几何使人们能够用代数方法处理曲线。几何学与代数的这种结合，为一般性的微积分的诞生铺平了道路。
牛顿、莱布尼茨与优先权之争
艾萨克·牛顿和戈特弗里德·威廉·莱布尼茨被公认为微积分的创立者。牛顿在17世纪60年代中期提出了他的“流数法”，并将其用于引力和经典力学的研究。不过，他关于微积分的主要著作很晚才发表：一部分于1704年作为《光学》的附录出版，另一部分则在他去世后于1736年出版。莱布尼茨在17世纪70年代独立发展出自己的微积分，并于1684年和1686年在《学者学报》上发表。
发表时间的先后引发了莱布尼茨与牛顿之间的微积分优先权之争。牛顿的支持者指责莱布尼茨剽窃了牛顿未发表的思想。1712年，英国皇家学会成立了一个委员会调查此事。委员会成员大多是牛顿的支持者，其报告也站在了牛顿一边。现代大多数历史学家认为，两人是各自独立发展出微积分的，而且使用的记号截然不同。
莱布尼茨的记号包括表示导数的 dy/dx 和表示积分的拉长的S（∫）。这套记号更便于使用，也就是今天通行的记号。欧洲大陆的数学家采用了莱布尼茨的记号，而英国数学家则沿用牛顿的点记号。这种分裂在此后许多年里阻碍了两地数学界的交流。
严格化与理论基础
早期的微积分依赖于“无穷小”，即被认为比任何正数都小却又不等于零的量。这种量在逻辑上的地位并不清楚。1734年，哲学家乔治·贝克莱对其提出了著名的批评，称之为“消失了的量的幽灵”。与此同时，18世纪的数学家，尤其是伯努利家族、莱昂哈德·欧拉和约瑟夫-路易·拉格朗日，大大拓展了微积分的技巧和应用。
19世纪，微积分被建立在严格的基础之上。奥古斯丁-路易·柯西以极限为中心重建了这门学科。卡尔·魏尔施特拉斯提出了极限的精确ε–δ定义。伯恩哈德·黎曼给出了积分的严格定义。理查德·戴德金等人严格构造了实数，提供了微积分所需的完备性。后来，亨利·勒贝格发展了基于测度的积分理论。20世纪60年代，亚伯拉罕·鲁滨逊创立的非标准分析表明，无穷小也可以获得严格的逻辑基础。
推广
多元微积分把导数和积分推广到多元函数，引入了偏导数、重积分以及向量微积分中的各种定理，如格林定理、斯托克斯定理和散度定理。微分方程描述函数与其导数之间的关系，是对随时间和空间变化的现象建立模型的主要手段。复分析把微积分应用于复变量函数。变分法则研究如何找到使路径长度、能量等量取得最优值的函数。
应用
微积分在科学技术的各个领域都不可或缺。在物理学中，牛顿运动定律、电磁学方程和相对论都是用微积分的语言表述的。工程师用它来分析结构、电路、流体流动和控制系统。在经济学中，边际成本和边际效用都是导数。在概率论和统计学中，连续分布用密度函数和积分来描述。生物学和医学用微分方程为种群增长、流行病传播以及药物在体内的代谢过程建立模型。在机器学习中，梯度下降等训练算法依赖于对损失函数求导。
参考来源
- The Bitter Dispute with Leibniz over Calculus Prioritylink.springer.com
- Leibniz%E2%80%93Newton calculus controversyen.wikipedia.org
- Priority dispute and divergent notationsfiveable.me
- History of Calculus — Newton vs Leibnizcalculusconcepts.com
- Physics In History on X: "Newton vs Leibniz, the great Calculus Controversy: The development of calculus is one of the most important advancements in the history of mathematics and has played a critical role in the physical sciences. The dispute over its invention, often referred to as the "calcul… / Xx.com