方程 · aiwiki.page

方程是数学中表示两个表达式相等的陈述，通常用等号 $=$ 书写。方程可以表达数值关系、恒等关系或涉及未知量的条件。在代数中，解方程就是找出未知量所有使等式成立的允许取值。例如， $2x+3=11$ 的解为 $x=4$ 。方程不同于 $2x+3$ 这样的表达式：后者表示一个量，但并未声明任何相等关系。(openstax.org)

含义、记法与解

等号前后的表达式分别称为左边和右边。字母可以表示未知量、变量，也可以表示在特定问题中视为固定值的参数。解集包含使方程成立的所有允许取值组合；当未知量不止一个时，解通常是有序数对、三元组或包含更多分量的有序组。(openstax.org)

允许取值的范围十分重要。例如， $x^2=2$ 在实数范围内有两个解，但在整数范围内无解。方程 $x^2+1=0$ 没有实数解，而在复数范围内，其解为 $i$ 和 $-i$ ，其中 $i^2=-1$ 。表达式本身也必须有定义：含有 $1/x$ 的方程要求排除 $x=0$ 。(openstax.org)

恒等式对指定定义域内的每一个值都成立，例如 $(x+1)^2=x^2+2x+1$ 。条件方程只对某些值成立，而矛盾方程在指定范围内没有解。在实数范围内， $x+1=x$ 就是矛盾方程。这一区别将用作一般代数法则的等式与对未知量施加限制的等式区分开来。(openstax.org)

主要类型

只含一个未知量的线性方程可以写成

ax+b=0,\qquad a\ne0,

其解为 $x=-b/a$ 。含有多个未知量的线性方程由各未知量与常数的乘积相加而成，也可以含有常数项，但不含未知量之间的乘积或未知量的高次幂。(openstax.org)

一元二次方程的形式为

ax^2+bx+c=0,\qquad a\ne0.

其解由下式给出：

x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}.

当系数为实数时，判别式 $b^2-4ac$ 决定方程是有两个不同的实数解、一个二重实根，还是两个非实数的复数解。更一般地，多项式方程是将多项式表达式设为零的方程。(openstax.org)

方程还可以根据其中出现的运算进行分类。分式方程含有多项式的商；无理方程的根号下含有未知量。指数方程、对数方程和三角方程则涉及相应的函数。它们的定义域和求解方法各不相同，因此表面上相似的方程未必具有相同的性质。(openstax.org)

微分方程描述未知函数与其一个或多个导数之间的关系。它的解是函数，而不只是数。例如， $y'=y$ 的解为函数族 $y=Ce^x$ ；加入 $y(0)=2$ 这样的条件后，就确定了其中的解 $y=2e^x$ 。初始条件以及解的存在性和唯一性问题是这一领域的核心内容。(ocw.mit.edu)

等价变形

代数求解方法通过变形，将方程化为解集相同但更简单的方程。在等式两边加上或减去同一个有定义的量，可以保持等式成立。两边同时乘以或除以一个已知不为零的量，也是可逆的运算。因此， $2x+3=11$ 可以化为 $2x=8$ ，再化为 $x=4$ 。(openstax.org)

并非所有运算都能保持等价性。将两边平方可能引入额外的候选解：由 $x=-2$ 可以推出 $x^2=4$ ，但后者也允许 $x=2$ 。若除以含有未知量的表达式，而该表达式可能为零，就可能丢失解。去分母时，必须保留原方程对取值的限制。因此，候选解必须满足原方程，而不能仅满足变形后的方程。(openstax.org)

因式分解是另一种求解方法。在实数或复数范围内，只有至少一个因式为零，乘积才会为零。因此，

x^2-5x+6=(x-2)(x-3)=0

可得 $x=2$ 或 $x=3$ 。这一原理是许多初等多项式方程求解方法的基础。(openstax.org)

方程组与几何解释

方程组由必须同时成立的多个方程组成。线性方程组的解必须满足其中的每一个方程。例如，

x+y=5,\qquad x-y=1

有唯一解 $(x,y)=(3,2)$ 。代入法和消元法是常用的求解方法；规模较大的方程组可以借助矩阵来组织，并在线性代数中加以研究。(openstax.org)

在几何学中，方程用于描述点的集合。两个含有两个实变量的线性方程表示两条直线，它们的公共解就是交点。两条不同的平行直线对应无解的情形；相交直线对应唯一解；重合直线则对应无穷多个解。这将代数上的相容性与几何关系联系起来。(openstax.org)

数值方法与建模

当精确解难以求得时，可以用算法求近似解。牛顿法通过迭代公式

x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}

寻找 $f(x)=0$ 的根。它运用微积分，要求每一步的导数都不为零，并且是否收敛取决于函数和初始值，因而可能无法收敛。(openstax.org)

方程也用于表示物理学和工程学中动态系统的模型。微分方程可以描述振荡、阻尼、电路以及系统对外部输入的响应。其解既取决于方程本身，也取决于附加条件。(ocw.mit.edu)

记号的历史

书面形式的方程早于现代等号出现。威尔士数学家罗伯特·雷科德在1557年出版的《智慧的砺石》（The Whetstone of Witte）中引入了 $=$ ，选用两条平行线段表示相等。这个符号并未立即得到普遍采用；其他表示相等的记号直到18世纪仍在使用。(mathshistory.st-andrews.ac.uk)