有序对

有序对是由两个按指定顺序排列的分量组成的数学对象，通常记为 $(a,b)$。其中，$a$ 是第一分量，$b$ 是第二分量。其定义性性质是：两个有序对相等，当且仅当它们对应的分量分别相等。有序对是 笛卡尔积、二元关系和函数的基础，使数学能够区分位置、角色以及输入与输出之间的关系。(people.math.binghamton.edu)

定义与相等条件

有序对的特征性相等规则为

因此，除非 $a=b$，否则 $(a,b)$ 与 $(b,a)$ 不同。例如，$(2,5)\neq(5,2)$，而交换 $(3,3)$ 的两个分量后，它保持不变。有序对允许分量重复：即使两个位置放置的是同一个对象，有序对也始终具有两个分量位置。(people.math.binghamton.edu)

这一点将有序对与用集合 $\{a,b\}$ 表示的无序对区别开来。集合不区分其元素的书写顺序，因此 $\{a,b\}=\{b,a\}$。此外，$\{a,a\}=\{a\}$，后者是一个单元素集合。因此，有序对保留了分量的位置信息，而单纯由这些分量构成的集合并不保留这种信息。有序对也可记为 $\langle a,b\rangle$。(people.umass.edu)

集合论中的构造

在集合论中，有序对可以完全用集合来表示。一种称为库拉托夫斯基有序对的标准构造定义为

这种嵌套结构能够区分出第一分量，而不要求最外层集合本身具有顺序。该构造满足有序对的特征性相等规则，因此实现了有序对这一抽象概念。(math.cuhk.edu.hk)

要说明如何从中还原两个分量，令 $p=\{\{a\},\{a,b\}\}$。它的各个元素的交集为 $\{a\}$，并集为 $\{a,b\}$。因此，$a$ 可以唯一确定；如果这个并集中还有另一个不同的元素，那么该元素就是 $b$，否则 $b=a$。特别地，

尽管这个用于表示有序对的集合只有一个元素，它仍然编码了两个取值相等的分量位置。这些分析说明了为什么即使两个分量相同，该构造仍能保留所需的信息。(math.cuhk.edu.hk)

笛卡尔积与投影

对于集合 $A$ 和 $B$，它们的笛卡尔积为

例如，若 $A=\{1,2\}$、$B=\{x,y\}$，则其笛卡尔积包含 $(1,x),(1,y),(2,x),(2,y)$。第一分量必须来自 $A$，第二分量必须来自 $B$。如果任一因子是空集，则笛卡尔积为空。(people.math.binghamton.edu)

坐标投影是函数 $\pi_1(a,b)=a$ 和 $\pi_2(a,b)=b$，它们分别提取两个分量。交换分量可以得到从 $A\times B$ 到 $B\times A$ 的一个双射函数，其逆函数同样通过交换分量来定义。这种对应关系并不意味着两个笛卡尔积相同：因子的顺序决定了各位置上的分量属于哪个集合。(people.math.binghamton.edu)

关系与函数

从 $A$ 到 $B$ 的二元关系是一个子集 $R\subseteq A\times B$。$(a,b)\in R$ 表示 $a$ 与 $b$ 具有指定的关系。对于“欠钱于”这样的关系，颠倒有序对就会改变谁欠谁的钱。其逆关系为

因此，分量的顺序表达了关系的方向，而不仅仅是一种书写约定。(osera.cs.grinnell.edu)

函数 $f:A\to B$ 的函数图像为

函数的定义域中的每个元素都作为第一分量出现，并且恰好对应陪域中的一个值。一般的关系可以使同一个第一分量对应多个第二分量，但函数不可以。不过，除非该函数是单射函数，否则不同的输入仍可能具有相同的输出。(osera.cs.grinnell.edu)

坐标几何与复数

在解析几何中，笛卡尔坐标系用由两个实数组成的有序对 $(x,y)$ 表示平面上的每个点。第一坐标给出相对于坐标轴和原点的水平位置，第二坐标给出竖直位置。因此，$(2,5)$ 与 $(5,2)$ 通常表示不同的点。如果将有序对的两个分量代入一个二元方程后使方程成立，那么该有序对就是这个方程的解。(openstax.org)

复数 $z=a+bi$ 同样可以用 $(a,b)$ 表示。在复平面中，水平坐标是实部，竖直坐标是虚部。例如，$-2+3i$ 对应于 $(-2,3)$。这种表示方式赋予两个实数分量不同的数学角色。(openstax.org)

元组与嵌套有序对

有序对是有序元组具有两个分量时的情形。更长的元组可以递归构造；一种约定将 $(a,b,c)$ 定义为 $((a,b),c)$。另一种方法将元组表示为定义在指标集 $\{1,2,3\}$ 上的函数，将每个指标映射到相应的分量。这两种方法都保留了逐分量判定相等的规则。(math.cuhk.edu.hk)

对于嵌套的笛卡尔积，需要注意分组方式。对象 $((a,b),c)$ 与 $(a,(b,c))$ 具有不同的结构，分别属于 $(A\times B)\times C$ 和 $A\times(B\times C)$。不过，两者之间存在一个保留全部三个分量的自然双射。当这种表示方式上的区别不影响论证时，数学记号通常会将其省略。(cs.yale.edu)