笛卡尔积是集合论中的一种构造，通过形成集合元素的所有有序选取组合，将多个集合组合起来。对于两个集合 (A) 和 (B)，其笛卡尔积记为 (A\times B)，由所有满足 (a\in A) 且 (b\in B) 的有序对 ((a,b)) 组成。这一构造可以推广到有限个集合，以及任意指标集所标记的集合族。与数的乘法不同，笛卡尔积的结果是一个集合，其中每个元素的各个坐标都保留其位置。(homepages.ucl.ac.uk)
定义与例子
形式上， [ A\times B={(a,b)\mid a\in A,\ b\in B}. ] 有序对的定义性性质为 [ (a,b)=(c,d)\quad\Longleftrightarrow\quad a=c\text{ 且 }b=d. ] 因此，每个有序对内部的顺序至关重要，但列举这些有序对时的先后顺序并不重要。坐标可以是数、符号、集合或其他数学对象。(homepages.ucl.ac.uk)
例如，若 (A={1,2})，(B={x,y,z})，则 [ A\times B= {(1,x),(1,y),(1,z),(2,x),(2,y),(2,z)}. ] (A) 中的每个元素都与 (B) 中的每个元素配对，因此这个积有六个元素。各因子不必互不相交，同一个有序对中的坐标也可以重复：((1,1)) 就属于 ({1,2}\times{1,2})。(math.libretexts.org)
在几何学中，实数集与自身的积 [ \mathbb R^2=\mathbb R\times\mathbb R ] 给出了平面的坐标表示。更一般地，赋予通常几何结构的 (\mathbb R^n) 表示 (n) 维欧几里得空间。(math.libretexts.org)
基本性质
若任一因子是空集，则积为空集： [ A\times\varnothing=\varnothing\times A=\varnothing. ] 反之，两个非空因子的积非空，因为从每个因子中各选一个元素，就能组成一个有序对。(math.unm.edu)
若按集合本身的相等来理解，笛卡尔积通常不满足交换律：(A\times B) 不一定等于 (B\times A)。不过，交换坐标的映射 [ (a,b)\longmapsto(b,a) ] 是两者之间的双射函数。类似地，((A\times B)\times C) 与 (A\times(B\times C)) 包含的有序对具有不同的嵌套方式，但改变结合方式的映射 [ ((a,b),c)\longmapsto(a,(b,c)) ] 是一个自然的双射。在数学记号中，常将两者都视为有序三元组，从而省略这些区别。(math.cmu.edu)
笛卡尔积对任一坐标上的并集和交集都满足分配律。例如， [ A\times(B\cup C)=(A\times B)\cup(A\times C), ] [ A\times(B\cap C)=(A\times B)\cap(A\times C). ] 逐一检验坐标的归属即可证明这些恒等式。(math.libretexts.org)
对于有限集合，其基数满足 [ |A\times B|=|A|,|B|. ] 第一坐标有 (|A|) 种选择，而每一种第一坐标都对应 (|B|) 种可能的第二坐标。这是组合数学中乘法原理的一个实例。(homepages.ucl.ac.uk)
有限积与指标积
对于集合 (A_1,\ldots,A_n)，有限积为 [ \prod_{i=1}^{n}A_i ={(a_1,\ldots,a_n)\mid \text{对每个 }i,\ a_i\in A_i}. ] 其元素是有序的元组。当所有因子都是同一个集合 (A) 时，通常记为 (A^n)。若各因子都是有限集合，则积的基数等于各因子基数的乘积。(math.unm.edu)
对于任意指标集 (I)，积中的元素可以描述为一个从每个因子中选取一个坐标的函数： [ \prod_{i\in I}A_i
\left{ f:I\to\bigcup_{i\in I}A_i \ \middle|\ \text{对每个 }i,\ f(i)\in A_i \right}. ] 这一定义无需使用有限元组的记法，也适用于无限集合族。当 (I) 为空集时，这样的函数恰好只有一个，即空函数，因此空积是一个单元素集。(public.csusm.edu)
非空集合的有限积非空，这不需要任何额外的选择原则。对于任意集合族，“非空集合的积总是非空”这一断言在策梅洛—弗兰克尔集合论中等价于选择公理。(math.uwaterloo.ca)
关系、函数与投影
从 (A) 到 (B) 的一个二元关系是 (A\times B) 的一个子集，用于指定哪些有序对满足某个条件。函数 (f:A\to B) 的图为 [ {(a,f(a))\mid a\in A}\subseteq A\times B, ] 其中每个输入都恰好与一个输出配对。因此，笛卡尔积提供了描述关系和函数的图所需的背景集合。(math.cmu.edu)
坐标投影为 [ \pi_A(a,b)=a,\qquad \pi_B(a,b)=b. ] 它们体现了一条泛性质：给定函数 (f:X\to A) 和 (g:X\to B)，存在唯一的函数 [ h:X\to A\times B,\qquad h(x)=(f(x),g(x)), ] 使得 (\pi_A\circ h=f) 且 (\pi_B\circ h=g)，其中 (\circ) 表示函数复合。这一性质通过积与映入各因子的映射之间的关系，刻画了积。(public.csusm.edu)
附加结构与计算应用
对于拓扑空间，其底层集合的笛卡尔积上可以赋予积拓扑。在有限积中，各因子中开集的积构成一个基。在无限积中，基本开集只对有限多个坐标施加限制，其余所有坐标均不受限制。底层集合的构造与赋予其上的拓扑是两个不同的组成部分。(public.csusm.edu)
在关系数据库中，交叉连接实现的是行的笛卡尔积。诸如 T1 CROSS JOIN T2 这样的 SQL 表达式会将第一张表的每一行与第二张表的每一行组合，并保留两张表的所有列。若两张表分别有 (m) 行和 (n) 行，则筛选前的结果有 (mn) 行。SQL 表可以保留重复行，因此这一操作遵循的是 SQL 的行语义，不一定与不含重复元素的数学集合具有相同的行为。(postgresql.org)