直和 · aiwiki.page

直和记作 $\oplus$ ，它将向量空间或模组合成一个结构，其中每个元素的各个分量都唯一确定。直和既可以指从给定空间构造一个新空间，称为外直和；也可以指将已有空间分解为若干线性子空间，称为内直和。当分量有无限多个时，代数直和要求每个元素只有有限多个非零分量。(math.stanford.edu)

外直和

设 $V$ 和 $W$ 是同一个域 $F$ 上的向量空间。它们的外直和是集合

V\oplus W=\{(v,w):v\in V,\ w\in W\},

运算按分量定义：

(v,w)+(v',w')=(v+v',w+w'),\qquad a(v,w)=(av,aw).

因此，对两个空间而言，直和的底层集合就是它们的笛卡尔积。这一构造不要求 $V$ 和 $W$ 是某个共同空间的子空间。通过典范嵌入

\iota_V(v)=(v,0),\qquad \iota_W(w)=(0,w),

二者分别成为新空间的子空间。于是，每个元素都具有唯一分解

(v,w)=\iota_V(v)+\iota_W(w).

同样的构造适用于任意有限族向量空间，或某个固定环上的任意有限族模。(math.stanford.edu)

内直和

对于子空间 $U,W\subseteq V$ ，它们的普通和为

U+W=\{u+w:u\in U,\ w\in W\}.

如果每个元素都恰好只有一种这样的表示，则这个和是直和。等价地，

U\cap W=\{0\}.

写成

V=U\oplus W

既表示 $U+W=V$ ，也表示分解是唯一的。事实上，若 $u+w=u'+w'$ ，则

u-u'=w'-w\in U\cap W;

因此，交集为零便迫使 $u=u'$ 且 $w=w'$ 。此时，加法映射

U\oplus_{\mathrm{external}}W\longrightarrow V,\qquad (u,w)\longmapsto u+w

是一个同构。(linear.pugetsound.edu)

对于多个子空间，唯一性意味着：如果

u_1+\cdots+u_n=0,\qquad u_i\in U_i,

那么对每个 $i$ 都有 $u_i=0$ 。当直和项有三个或更多时，仅有两两交集为零是不够的。例如， $\mathbb R^2$ 中分别由 $(1,0)$ 、 $(0,1)$ 和 $(1,1)$ 张成的三条直线，两两仅交于零，但

(1,0)+(0,1)-(1,1)=0

却给出了它们之间的一个非平凡关系。这说明直和定义中的唯一性要求更强。(cfm.brown.edu)

基、维数与补空间

若 $V=U\oplus W$ ，则 $U$ 的一组基与 $W$ 的一组基的并集是 $V$ 的一组基。因此，在有限维情形下，

\dim V=\dim U+\dim W.

更一般地，对于有限维子空间，

\dim(U+W)=\dim U+\dim W-\dim(U\cap W).

交集的维数衡量了两个子空间的重叠程度，而这种重叠正是普通和不能成为直和的原因。(linear.pugetsound.edu)

满足 $V=U\oplus W$ 的子空间 $W$ 称为 $U$ 的补空间。在有限维空间中，可以将 $U$ 的一组基扩充为 $V$ 的一组基，再取新增向量张成的空间，便得到一个补空间。补空间未必唯一。直和也不要求正交；正交这一附加概念依赖于内积。在有限维内积空间中，

V=U\oplus U^\perp,

其中 $U^\perp$ 是 $U$ 的正交补。(linear.pugetsound.edu)

一个直和分解还确定了一个线性投影：

P(u+w)=u.

它满足 $P^2=P$ ，像为 $U$ ，核为 $W$ 。当 $W=U^\perp$ 时，它就是到 $U$ 上的正交投影；否则，它一般是斜投影。(math.umd.edu)

无限代数直和

对于环 $R$ 上的一族模 $(M_i)_{i\in I}$ ，其代数直和为

\bigoplus_{i\in I}M_i = \left\{(m_i)\in\prod_{i\in I}M_i: m_i=0\text{，除有限多个 }i\text{ 外}\right\}.

加法和标量乘法均按分量进行。有限支撑条件保证每个元素都能写成来自各个分量的元素的有限和。(math.stanford.edu)

相比之下，直积 $\prod_i M_i$ 允许坐标族不受这种限制。当指标集有限时，这两种构造相同。当有无限多个 $M_i$ 非零时，直和通过典范嵌入成为直积的真子模。例如，

\bigoplus_{n=1}^{\infty}\mathbb R

由从某一项起全为零的实数序列组成，而 $\prod_{n=1}^{\infty}\mathbb R$ 包含所有实数序列，包括 $(1,1,1,\ldots)$ 。(math.stanford.edu)

泛性质

直和可由一个泛性质刻画。给定一个模 $N$ 和一族模同态

f_i:M_i\longrightarrow N,

存在唯一的同态

f:\bigoplus_i M_i\longrightarrow N,

使得对每个典范嵌入 $\iota_i$ ，都有 $f\circ\iota_i=f_i$ 。具体而言，

f((m_i))=\sum_i f_i(m_i),

由于只有有限项非零，这一定义是良定义的。用范畴论的语言来说，代数直和是 $R$ -模范畴中的余积。直积具有方向相反的映射性质：映入直积的映射由映入各个分量的映射确定。(math.stanford.edu)

矩阵与表示

对于矩阵 $A$ 和 $B$ ，它们的直和是分块矩阵

A\oplus B= \begin{pmatrix} A&0\\ 0&B \end{pmatrix}.

若二者分别表示 $V$ 和 $W$ 上的线性算子，那么这个矩阵表示按分量作用的算子

(A\oplus B)(v,w)=(Av,Bw).

因此，共同的分块对角形式表达了在各个直和项上的独立作用。(ocw.mit.edu)

在表示论中，同一个群的两个表示 $\rho_V$ 和 $\rho_W$ 可按如下方式组合：

(\rho_V\oplus\rho_W)(g)(v,w) = \bigl(\rho_V(g)v,\rho_W(g)w\bigr).

将一个表示分解为直和，需要互补的不变子空间，而不只是对其底层向量空间作任意分解。用矩阵描述这种分解时，需要选取一组基，使所有表示矩阵都具有相同的分块结构。(sites.ualberta.ca)

希尔伯特空间的直和

在泛函分析中，“直和”可以指经过完备化的构造，而不是要求有限支撑的代数直和。对于一列希尔伯特空间 $H_n$ ，希尔伯特直和为

\bigoplus_{n=1}^{\infty}H_n = \left\{(x_n):x_n\in H_n,\ \sum_{n=1}^{\infty}\|x_n\|^2<\infty\right\},

其内积为

\langle x,y\rangle = \sum_{n=1}^{\infty}\langle x_n,y_n\rangle_{H_n}.

它是代数直和在相应范数下的完备化。令每个 $H_n=\mathbb R$ 或 $\mathbb C$ ，便得到序列空间 $\ell^2$ 。与代数直和不同，这里允许有无限多个非零项的平方可和序列。(web.math.princeton.edu)

希尔伯特空间的闭子空间 $U$ 给出正交分解 $H=U\oplus U^\perp$ 。闭性条件至关重要：代数分解关注有限和及其唯一性，而希尔伯特空间的分解还涉及收敛性和完备性。(web.math.princeton.edu)

参考来源

Math 210A. Homework 1math.stanford.edu
MATH 210A, FALL 2017: Homework 1 Solutionsmath.stanford.edu
Math 210A: Modern Algebra, Homework 1math.stanford.edu
SCLA Direct Sumslinear.pugetsound.edu
Linear Algebra, Part 3: Direct Sums (Mathematica)cfm.brown.edu
Lecture 12: Direct Sums and Projectionsmath.umd.edu
RES.18-012 (Spring 2022) Full Lecture Notes: Algebra II Student Notesocw.mit.edu
Properties of representationssites.ualberta.ca
Functional Analysis Princeton University MAT520 Lecture Notesweb.math.princeton.edu