域（数学）

域是一个配备了加法和乘法的集合，这两种运算满足特定规则，使减法和除以非零元素的运算得以成立。常见的例子包括有理数、实数和复数，但域也可以只包含有限多个元素。在抽象代数中，域这一概念刻画了这些系统共有的代数性质，而不要求其中的元素是通常意义上的数。(math.mit.edu)

定义与公理

域 $F$ 具有两种二元运算，即加法 $+$ 和乘法 $\cdot$，以及两个不同的元素 $0$ 和 $1$。定义域的公理要求：

• 结合律： $(a+b)+c=a+(b+c)$，且 $(ab)c=a(bc)$。
• 交换律： $a+b=b+a$，且 $ab=ba$。
• 单位元： $a+0=a$，且 $a\cdot1=a$。
• 加法逆元： 每个 $a$ 都有一个元素 $-a$，满足 $a+(-a)=0$。
• 乘法逆元： 每个 $a\ne0$ 都有一个元素 $a^{-1}$，满足 $aa^{-1}=1$。
• 分配律： $a(b+c)=ab+ac$。

这两种运算的输入和结果均为 $F$ 中的元素。减法就是加上加法逆元；除法就是乘以乘法逆元。除以零没有定义。(math.mit.edu)

等价地说，域是一个满足 $1\ne0$、且每个非零元素都可逆的交换环（数学）。它的加法结构，以及非零元素组成的乘法结构，都是阿贝尔群。若去掉乘法交换律这一要求，就得到更广泛的除环概念。(math.mit.edu)

例子与反例

有理数 $\mathbb Q$、实数 $\mathbb R$ 和复数 $\mathbb C$ 在通常的运算下都是域。整数 $\mathbb Z$ 则不是域：例如，$2$ 在 $\mathbb Z$ 中没有乘法逆元。同样，阶数至少为二的实数方矩阵也不构成域，因为有些非零矩阵不可逆。(homepages.ucl.ac.uk)

对于素数 $p$，剩余类集合 $\mathbb Z/p\mathbb Z$ 在模算术运算下构成一个域，记作 $\mathbb F_p$。例如，在 $\mathbb F_5$ 中，$3+4=2$，且 $2^{-1}=3$，因为模 $5$ 时 $2\cdot3=1$。如果模数是合数，得到的环就不是域：在模 $6$ 的情况下，非零剩余类 $2$ 和 $3$ 的乘积为零。(homepages.ucl.ac.uk)

特征与有限域

域的特征是使 $n$ 个 $1$ 相加得到零的最小正整数 $n$。如果不存在这样的整数，则特征为零。正特征必定是素数。每个域都包含一个最小子域，称为它的素子域；特征为零时，素子域同构于 $\mathbb Q$，特征为 $p$ 时则同构于 $\mathbb F_p$。(jmilne.org)

每个有限域的元素个数都为 $p^n$，其中 $p$ 是某个素数，$n$ 是正整数。反过来，对于每个素数幂 $p^n$，都存在一个具有这么多元素的域，并且在同构意义下唯一；同构是保持域运算的双射。这个域记作 $\mathbb F_{p^n}$ 或 $\operatorname{GF}(p^n)$。它的特征是 $p$，而不是 $p^n$。(math.mit.edu)

这样的域可以通过将 $\mathbb F_p$ 上的多项式对一个 $n$ 次不可约多项式取模来构造。例如，

用 $\alpha$ 表示 $x$ 所在的剩余类，则这个域的元素为 $0,1,\alpha,1+\alpha$，且 $\alpha^2=\alpha+1$。它并不是模四整数环。(math.mit.edu)

子域与扩张

子域是一个在原有运算下自身也构成域的子集。当 $K$ 是 $L$ 的子域时，$L/K$ 是一个域扩张。较大的域是较小的域上的向量空间；它的维数（向量空间）记作 $[L:K]$，称为该扩张的次数。(jmilne.org)

如果扩张中的某个元素满足一个系数属于 $K$ 的非零多项式方程，就称该元素在 $K$ 上是代数的；否则称其为超越的。例如，

在 $\mathbb Q$ 上的扩张次数为二。如果一个域上的每个非常数多项式都在该域中有根，就称这个域是代数闭的。代数基本定理表明 $\mathbb C$ 具有这一性质。(jmilne.org)

线性代数与应用

域为线性代数提供标量。向量、矩阵和线性方程都可以在任意域上研究，而不仅限于实数域或复数域。非零标量具有逆元，因此可以进行涉及除法的运算；选择不同的域会改变运算规则，但不必改变其基本框架。(homepages.ucl.ac.uk)

伽罗瓦理论通过保持运算的对称性来研究域扩张。对于有限伽罗瓦扩张，其基本定理将中间域与相应伽罗瓦群的子群联系起来，从而把域的结构与群论联系起来。(jmilne.org)

密码学中有一个具体应用：高级加密标准将字节视为 $\mathbb F_{256}$ 中的元素。加法是按位异或，而乘法则使用系数为二进制值的多项式，并对一个指定的不可约多项式取模。这些是域运算，而不是普通的模 $256$ 整数运算。(nvlpubs.nist.gov)