维数（向量空间）

向量空间的维数是它在所定义的域（数学）上的一个基（线性代数）中向量的个数。有限维空间的维数是非负整数，无限维空间的维数则是无限基数。维数衡量的是独立线性方向的数量，而不是向量的总数。它是线性代数中的一个基本不变量，记作 $\dim V$；需要明确标量域 $F$ 时，则记作 $\dim_F V$。(linear.axler.net)

定义及其与基的选择无关性

基是一组满足两个条件的向量：线性无关，并且张成整个空间。线性无关是指，基向量的有限线性组合只有在所有系数均为零时才等于零。张成整个空间是指，空间中的每个向量都能表示为这样的线性组合。这两个条件共同保证了表示的唯一性。若 $B$ 是一个基，则

对于有限维空间，这表示基向量的个数；在更一般的情形下，竖线表示集合的基数。(github.com)

这一定义不依赖于所选的基。在有限维情形下，关键的比较定理指出，线性无关组中的向量个数不能超过张成组中的向量个数。对两个基分别从两个方向应用这一定理，就能证明它们的向量个数相同。因此，不同基的向量及其排列顺序可以不同，但维数不会改变。(webspace.ship.edu)

在 $n$ 维空间中，每个线性无关组至多包含 $n$ 个向量，而每个张成组至少包含 $n$ 个向量。恰好包含 $n$ 个向量的线性无关组必然是一个基；恰好包含 $n$ 个向量的张成组也必然是一个基。利用这些判据，往往不必分别检验定义中的两个条件，就能确定一组向量是否为基。(linear.axler.net)

坐标与示例

坐标空间 $F^n$ 的维数为 $n$。它的标准基由向量 $e_1,\ldots,e_n$ 组成，其中 $e_j$ 的第 $j$ 个分量为 $1$，其余分量均为零。更一般地，有序基 $v_1,\ldots,v_n$ 使每个向量都有唯一的表达式

映射 $v\mapsto(a_1,\ldots,a_n)$ 给出了该空间与 $F^n$ 之间的线性同构。因此，同一域上的有限维向量空间同构，当且仅当它们的维数相等。维数可以对这些空间的线性结构进行分类，但不能对额外的结构进行分类，例如指定的内积。(github.com)

零空间 $\{0\}$ 的维数为零：它的基是空集，而不是只含零向量的集合。由次数不超过 $m$ 的多项式（包括零多项式）组成的空间 $P_m(F)$ 的一个基为

其维数为 $m+1$。过原点的直线维数为一，过原点的平面维数为二，即使它们嵌入在更大的坐标空间中也是如此。(linear.axler.net)

对标量域的依赖

维数是空间连同其标量域一起确定的。复数在 $\mathbb C$ 上构成一维空间，其一个基为 $\{1\}$。同一个集合在实数域上则是二维空间，其一个基为 $\{1,i\}$，因为每个复数都能唯一地写成 $a+bi$，其中 $a,b$ 为实数。(math.stanford.edu)

更一般地，一个复维数为 $n$ 的复向量空间，将标量乘法限制为仅使用实数后，其实维数为 $2n$。若 $v_1,\ldots,v_n$ 是一个复基，则

是一个实基。这种变化反映的是允许使用的系数发生了变化，而不是空间中的向量本身发生了变化。(math.stanford.edu)

子空间与维数公式

有限维空间 $V$ 的每个线性子空间 $U$ 都满足 $\dim U\leq\dim V$。$U$ 的一个基可以扩充为 $V$ 的一个基，因此维数相等就意味着 $U=V$。对于子空间 $U,W$，它们的和满足

减去交空间的维数，是为了扣除在两个子空间中被重复计算的方向。商向量空间 $V/U$ 的元素是模 $U$ 的陪集，其维数满足

这里的这些减法公式适用于有限维空间。(linear.axler.net)

线性映射与计算

对于定义域为有限维空间的线性映射 $T:V\to W$，秩—零化度定理指出

核由被映射到零的向量组成；像由该映射能够取到的所有输出组成。它们的维数分别称为零化度和秩。(linear.axler.net)

对于 $m\times n$ 矩阵 $A$，可以用高斯消元法计算这些量。矩阵的秩等于主元列的个数，而零化度等于 $Ax=0$ 中自由变量的个数。要求一组给定坐标向量的线性包的维数，可以将这些向量作为矩阵的列，再数出主元的个数。对于相容的线性方程组 $Ax=b$，其解集是核的一个平移，含有 $n-\operatorname{rank}A$ 个自由参数。(github.com)

无限维空间

不限制次数的多项式空间 $F[x]$ 有一个可数无限基 $\{1,x,x^2,\ldots\}$。每个多项式仍然只用到有限个基向量。在通常的集合论基础下，选择公理保证每个向量空间都有基，并且同一空间的所有基都具有相同的基数。(stanford.edu)

这种代数意义上的基必须与涉及收敛无穷展开的基加以区分。在希尔伯特空间中，标准正交基的线性包取闭包后才得到整个空间，不一定仅靠有限线性组合就能张成整个空间。因此，希尔伯特空间可以具有可数的标准正交基，而它的代数维数（即哈梅尔维数）却是不可数的。(linear.axler.net)