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数学 / orthonormal-basis

标准正交基

标准正交基是由两两正交的单位向量构成的完备向量系，可通过内积直接确定向量的坐标。

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内积基（线性代数）线性代数希尔伯特空间实数复数向量空间线性张成标准正交基

标准正交基是内积空间中的一组基（线性代数），其中各向量的长度均为一，且两两正交。在有限维线性代数中，每个向量都能唯一地表示为这些基向量的有限线性组合。在无限维希尔伯特空间中，完备性则意味着，有限线性组合可以在范数意义下任意逼近每个向量。标准正交基使坐标、投影和长度的计算变得尤为简单。(ocw.mit.edu)

定义与基本性质

设 VV 是实数域或复数域上配备了内积的向量空间。若向量系 {ei}\{e_i\} 满足

⟨ei,ej⟩={1,i=j,0,i≠j,\langle e_i,e_j\rangle= \begin{cases} 1,&i=j,\\ 0,&i\ne j, \end{cases}

则称其为标准正交向量系。因此，每个向量的范数均为 ∥ei∥=⟨ei,ei⟩=1\|e_i\|=\sqrt{\langle e_i,e_i\rangle}=1，且不同向量彼此正交。在有限维空间中，这个向量系是标准正交基，当且仅当其线性包等于 VV。(ocw.mit.edu)

任何标准正交向量系都线性无关。事实上，若一个有限线性组合等于零，将其与参与组合的各个基向量分别取内积，就能得出所有系数都为零。因此，恰好包含 dim⁡V\dim V 个向量的标准正交向量系就是一组基。有限维内积空间中的任何标准正交向量系，都可以扩充为一组标准正交基。(ocw.mit.edu)

正交基只要求向量彼此正交，并不要求长度为一；将每个向量除以自身的范数，就能得到标准正交基。标准正交性还取决于所选的内积。在通常的点积下标准正交的坐标向量，在另一种内积下未必仍然标准正交。(ocw.mit.edu)

坐标、长度与投影

本文采用复内积对第一个变量具有线性性的约定。若 {e1,…,en}\{e_1,\ldots,e_n\} 是一组标准正交基，则

x=∑i=1n⟨x,ei⟩ei.x=\sum_{i=1}^{n}\langle x,e_i\rangle e_i.

因此，沿每个基方向的系数都可以直接通过内积求得，无须求解线性方程组。若采用内积对第二个变量具有线性性的另一种约定，则该系数写为 ⟨ei,x⟩\langle e_i,x\rangle。(ocw.mit.edu)

记 ci=⟨x,ei⟩c_i=\langle x,e_i\rangle，则有

∥x∥2=∑i=1n∣ci∣2.\|x\|^2=\sum_{i=1}^{n}|c_i|^2.

这是勾股定理在内积空间中的形式：各个彼此正交的分量对长度平方的贡献可以独立相加。对于向量 xx 和 yy，它们的内积同样等于对应坐标乘积之和，其中 yy 的坐标需取复共轭。(ocw.mit.edu)

若这些向量构成的是线性子空间 WW 的一组基，则相应的正交投影公式为

PWx=∑i⟨x,ei⟩ei.P_Wx=\sum_i\langle x,e_i\rangle e_i.

残差 x−PWxx-P_Wx 属于 WW 的正交补。在 WW 的所有向量中，PWxP_Wx 是唯一使到 xx 的距离最小的向量，因此这一公式在最小二乘逼近中具有核心作用。(mit.edu)

示例与矩阵表示

在通常的点积下，标准坐标向量构成 Rn\mathbb R^n 的一组标准正交基。R2\mathbb R^2 中的另一组例子是

e1=12(1,1),e2=12(−1,1).e_1=\frac{1}{\sqrt2}(1,1),\qquad e_2=\frac{1}{\sqrt2}(-1,1).

它们的点积为零，且长度都为一。相对于这组基，(a,b)(a,b) 的坐标为 (a+b)/2(a+b)/\sqrt2 和 (b−a)/2(b-a)/\sqrt2，这说明标准正交基并不唯一。(openlearninglibrary.mit.edu)

将各基向量作为列排成矩阵 QQ，标准正交性就可以表示为

Q∗Q=I,Q^*Q=I,

其中 Q∗Q^* 表示共轭转置，II 是单位矩阵。对于实矩阵，Q∗Q^* 就是其矩阵转置 QTQ^{\mathsf T}。若 QQ 为方阵，则在实数情形下它是正交矩阵，在复数情形下则是酉矩阵；其逆矩阵为 Q∗Q^*。此时，坐标转换为 c=Q∗xc=Q^*x，而向量重构为 x=Qcx=Qc。(openlearninglibrary.mit.edu)

对于列向量标准正交的非方阵 QQ，这些列向量只能张成所在坐标空间的一个子空间。此时，QQ∗QQ^* 不一定是单位矩阵，而是到该子空间的投影矩阵。(openlearninglibrary.mit.edu)

构造方法

格拉姆—施密特正交化可从一个有序的线性无关向量组 v1,…,vnv_1,\ldots,v_n 构造出标准正交基。在第 kk 步，先去除沿此前已构造方向的分量，再将剩余向量归一化：

uk=vk−∑j<k⟨vk,ej⟩ej,ek=uk∥uk∥.u_k=v_k-\sum_{j<k}\langle v_k,e_j\rangle e_j, \qquad e_k=\frac{u_k}{\|u_k\|}.

线性无关性保证了 uk≠0u_k\ne0。所得向量组的每个前段，都与输入向量组中对应的前段张成相同的子空间。(ocw.mit.edu)

将这一构造应用于矩阵 AA 的线性无关列向量，即可得到QR分解 A=QRA=QR，其中 QQ 的列向量标准正交，RR 为上三角矩阵。这个三角因子记录了原始列向量在新基下的表示。(openlearninglibrary.mit.edu)

无限维空间中的基

在希尔伯特空间中，标准正交基是一个完备的标准正交系，即其闭线性包等于整个空间。这与代数基（也称哈梅尔基）不同，后者只允许有限线性组合。对于可数的标准正交基，有

x=∑k=1∞⟨x,ek⟩ek,x=\sum_{k=1}^{\infty}\langle x,e_k\rangle e_k,

其中级数在范数意义下收敛。帕塞瓦尔恒等式指出，

∥x∥2=∑k=1∞∣⟨x,ek⟩∣2.\|x\|^2=\sum_{k=1}^{\infty}|\langle x,e_k\rangle|^2.

当这些向量是函数时，仅有范数收敛并不能保证逐点收敛。(oshalit.net.technion.ac.il)

傅里叶级数所依托的一个基本例子是 L2([−π,π])L^2([-\pi,\pi]) 的实三角函数基：

12π,cos⁡(kx)π,sin⁡(kx)π,k=1,2,….\frac{1}{\sqrt{2\pi}},\qquad \frac{\cos(kx)}{\sqrt\pi},\qquad \frac{\sin(kx)}{\sqrt\pi}, \quad k=1,2,\ldots.

正交性由两个函数乘积的积分来判定。归一化因子使每个基函数的范数都为一，而完备性则保证平方可积函数能够通过其傅里叶系数在 L2L^2 意义下重构。(math.mit.edu)