自伴算子 · aiwiki.page

自伴算子是希尔伯特空间上与其伴随算子相等的线性映射。对于无界算子，这种相等既涉及算子的作用，也涉及其定义域。自伴算子推广了实对称矩阵和复厄米矩阵；其谱表示使它们在泛函分析以及量子力学的数学表述中占据核心地位。(math.ubc.ca)

定义与定义域的作用

设 $H$ 是复希尔伯特空间，约定内积 $\langle x,y\rangle$ 对第一个变量是线性的。设

A:D(A)\subseteq H\longrightarrow H

是线性算子，其定义域 $D(A)$ 是一个线性子空间，且为稠密集。伴随算子 $A^*$ 的定义域由所有满足下述条件的 $y\in H$ 组成：存在 $z\in H$ ，使得

\langle Ax,y\rangle=\langle x,z\rangle \qquad\text{对每个 }x\in D(A)\text{ 都成立}.

稠密性保证了 $z$ 的唯一性，于是定义 $A^*y=z$ 。当

D(A)=D(A^*),\qquad Ax=A^*x\quad(x\in D(A))

时，算子 $A$ 称为自伴算子。对于定义在整个 $H$ 上的有界算子，两个定义域自然都是 $H$ ，因此条件简化为 $A=A^*$ 。(math.ubc.ca)

若稠密定义的算子满足

\langle Ax,y\rangle=\langle x,Ay\rangle \qquad(x,y\in D(A)),

则称其为对称算子。等价地， $A\subseteq A^*$ ：伴随算子在 $D(A)$ 上与 $A$ 一致，但其定义域可能更大。因此，自伴性蕴含对称性，但对于无界算子，仅有对称性并不意味着自伴性。每个自伴算子都是闭算子，即其图像是 $H\oplus H$ 中的闭集。(math.toronto.edu)

在有限维情形中，厄米通常与自伴同义。然而，在讨论无界算子时，这个词有时仅指对称性。明确给出定义域条件，可以避免这种术语上的歧义。若一个算子的闭包是自伴算子，则称该算子本质自伴；它在原来的定义域上不一定是闭算子，也不一定是自伴算子。(math.brown.edu)

有限维算子与矩阵

在标准正交基下，自伴算子由满足下式的矩阵 $M$ 表示：

M=M^*=\overline{M}^{\,T},

其中 $M^*$ 为共轭转置。因此， $m_{ij}=\overline{m_{ji}}$ ，且对角元均为实数。在实内积空间上，这一条件变为 $M=M^T$ ，即矩阵是对称的。不涉及共轭的复矩阵对称性 $M=M^T$ 则是另一种条件。(math.brown.edu)

有限维谱定理给出

M=U\Lambda U^*,

其中 $U$ 是酉矩阵， $\Lambda$ 是对角元均为实数的对角矩阵。因此，所有特征值都是实数，属于不同特征值的特征向量彼此正交，并且存在由特征向量组成的标准正交基。对于实对称矩阵，可以选取正交矩阵作为 $U$ 。(math.brown.edu)

无限维谱理论

复希尔伯特空间上自伴算子的谱位于实轴上。不过，谱值不一定是特征值，也不一定存在由特征向量组成的标准正交基。无限维谱理论用乘法算子或谱积分取代对角矩阵。(math.toronto.edu)

一般谱定理将 $A$ 与定义在 $\mathbb R$ 的博雷尔子集上的唯一投影值测度 $E$ 相联系，使得

A=\int_{\mathbb R}\lambda\,dE(\lambda).

每个 $E(B)$ 都是正交投影，并且

E(\mathbb R)=I,\qquad E(B)E(C)=E(B\cap C).

这些投影描述了希尔伯特空间中与不同谱区域相对应的部分。(math.ubc.ca)

记 $\mu_x(B)=\langle E(B)x,x\rangle$ ，则可以通过谱测度确定定义域：

D(A)= \left\{x\in H: \int_{\mathbb R}\lambda^2\,d\mu_x(\lambda)<\infty \right\}.

相应的函数演算定义为

f(A)=\int_{\mathbb R}f(\lambda)\,dE(\lambda).

有界可测函数给出有界算子；无界函数则需要相应的定义域条件。这一框架为算子的函数赋予了精确含义，包括算子的指数以及非负算子的平方根。(math.ubc.ca)

对于可分希尔伯特空间上的紧自伴算子，其核的正交补具有由特征向量组成的标准正交基，相应的特征值均为非零实数。非零特征值的重数有限，任何由这些特征值构成的无限序列都只能在零处聚集。再加入核的一组标准正交基，便得到整个空间的一组基。(ocw.mit.edu)

示例与边界条件

一个基本例子是测度空间上由实值可测函数 $m$ 定义的乘法算子：

(M_mf)(s)=m(s)f(s),\qquad D(M_m)=\{f\in L^2:mf\in L^2\}.

在这一最大定义域上， $M_m$ 是自伴算子。它有界当且仅当 $m$ 本质有界。谱定理的乘法算子表述使这一例子成为一般自伴算子的模型。(ocw.mit.edu)

微分算子说明了定义域为何重要。在 $L^2(0,1)$ 上，考虑

Pf=-if',\qquad D(P)=H_0^1(0,1),

其中 $H^1$ 是索伯列夫空间，而 $H_0^1(0,1)$ 要求函数在两个端点处的值为零。分部积分表明 $P$ 是对称算子。其伴随算子具有相同的微分表达式，但定义域为 $H^1(0,1)$ ，不对端点值施加限制。因此， $P$ 不是自伴算子。(faculty.washington.edu)

要得到相应的自伴算子，可以采用如下边界条件：

D(P_\theta)= \{f\in H^1(0,1):f(1)=e^{i\theta}f(0)\}, \qquad 0\leq\theta<2\pi.

这些条件给出一个单参数自伴扩张族。在周期情形 $\theta=0$ 下，特征函数为指数函数。因此，仅指定微分表达式 $-i\,d/dx$ 并不能确定算子。(ocw.mit.edu)

相比之下，二阶算子

Lf=-f'',\qquad D(L)=H^2(0,1)\cap H_0^1(0,1)

是自伴的：其狄利克雷边界条件也对伴随算子的定义域施加了必要的端点限制。因此，分析边界条件时，必须同时考虑微分表达式的阶数与形式。(faculty.washington.edu)

本质自伴性与扩张

对于稠密定义的对称算子 $S$ ，定义其亏指数为

n_+=\dim\ker(S^*-iI),\qquad n_-=\dim\ker(S^*+iI).

约翰·冯·诺依曼的扩张理论区分了三种情况：

若 $n_+=n_-=0$ ，则 $S$ 本质自伴。
若 $n_+=n_-$ ，则存在自伴扩张。
若 $n_+\ne n_-$ ，则在同一希尔伯特空间中不存在自伴扩张。

对于亏指数相等的闭对称算子，其自伴扩张由两个亏空间之间的酉映射参数化。(math.ucr.edu)

本质自伴性保证存在唯一的自伴扩张，即算子的闭包。否则，选择扩张可能相当于选择额外的边界数据。有下界的稠密定义对称算子也存在保持该下界的自伴扩张。(ocw.mit.edu)

量子力学与酉演化

在量子力学的标准希尔伯特空间表述中，锐可观测量由自伴算子表示。对于归一化态 $\psi$ ，玻恩规则将测量结果落在博雷尔集 $B$ 中的概率表示为

\Pr(A\in B)=\langle E(B)\psi,\psi\rangle.

当 $\psi\in D(A)$ 时，期望值为 $\langle A\psi,\psi\rangle$ ，它是实数。谱测度既能描述离散的测量分布，也能描述连续的测量分布。(math.ucr.edu)

斯通定理将自伴性与动力学联系起来：每个自伴算子 $A$ 都生成一个强连续单参数酉群 $e^{itA}$ ，而每个这样的群都有唯一的自伴生成元。对于不随时间变化的哈密顿算符 $H$ ，由此得到

U(t)=e^{-itH/\hbar},

它给出了薛定谔方程所描述的保持范数不变的演化。仅有对称性并不能保证这种对应关系。(math.ucr.edu)

形式算子运算的局限

在组合无界算子时，仍然必须严格处理定义域。即使两个算子都是自伴的，它们的和或积也不一定自伴。同样， $AB$ 与 $BA$ 在一个共同的稠密定义域上一致，本身并不能证明它们的谱投影彼此交换。要获得联合谱表示，需要更强的谱意义下的交换性。(math.ucr.edu)

参考来源

Review of Unbounded Operatorsmath.ubc.ca
Chapter 6 Structure of operators in inner product spaces — Linear Algebra Done Wrongmath.brown.edu
S13.4 — Self-adjoint theorymath.toronto.edu
Quantum Theory I, Recitation 1 Notesocw.mit.edu
The Spectral Theorem for Self-Adjoint and Unitary Operatorsmtaylor.web.unc.edu
Lecture 20 — Spectral theorem for compact self-adjoint operatorsocw.mit.edu
Mathematics for Physicspeople.physics.illinois.edu
Quantum Theory and Analysismath.ucr.edu