量子力学是描述物质和辐射的物理理论框架，尤其适用于原子和亚原子尺度。它解释了原子的结构、原子与光的相互作用，以及经典力学无法充分描述的现象。量子力学并不沿着预先确定的轨迹为每个物理量赋予确定的值，而是用量子态表示系统，并预测各种测量结果出现的概率。其原理也适用于集体性的宏观现象，并为多项重要技术奠定了基础。(ocw.mit.edu)
历史发展
量子力学起源于十九世纪物理学所遇到的难题。1900年，马克斯·普朗克在研究黑体辐射时引入了离散的能量单元，由此确立了能量量子化的概念，并引入常数 (h)，即如今所称的普朗克常数。1905年，阿尔伯特·爱因斯坦提出光量子概念，用以解释包括光电效应在内的现象。随后，尼尔斯·玻尔于1913年提出了具有量子化能级的原子模型。(nobelprize.org)
现代量子力学于1925至1926年间形成。维尔纳·海森堡、马克斯·玻恩和帕斯库尔·约尔丹发展了矩阵力学，埃尔温·薛定谔则建立了波动力学。这两种数学形式不同的方法后来被证明是等价的。玻恩提出了波函数的概率诠释，将数学形式体系与实验结果联系起来。由此形成的理论以量子态取代了经典的电子轨道，并对原子光谱作出了系统的解释。(nobelprize.org)
量子态与测量
纯量子态由复希尔伯特空间中的归一化向量表示，仅相差一个整体相位的向量描述的是同一个物理态。在位置表象中，量子态表示为波函数，通常记作 (\psi(\mathbf{x},t))。对于更一般的状态，包括统计混合态以及与周围环境纠缠的子系统状态，则需要用密度矩阵来描述。(preskill.caltech.edu)
量子叠加原理允许对态向量作线性组合。关键在于，叠加并不只是对某个已经存在的确定状态缺乏了解：各分量之间的相对相位会影响可观测的干涉。当不同路径之间保持相干时，必须先将其概率幅相加，再计算概率。这一区别解释了涉及单个粒子的实验中出现的干涉图样。(live.ocw.mit.edu)
玻恩规则将量子态与测量概率联系起来。对于归一化的位置波函数，(|\psi(\mathbf{x},t)|^2) 是概率密度，因此对某一区域积分，即可得到在该区域探测到粒子的概率。在理想测量的标准处理方式中，可观测量对应于自伴算符。离散的可能测量结果是这些算符的特征值，而量子态在相应特征子空间上的投影决定各结果出现的概率。理想的投影测量还规定了测量后量子态的相应更新方式。(ocw.mit.edu)
动力学、量子化与不确定性
对于封闭系统，量子态的演化由薛定谔方程支配： [ i\hbar\frac{\partial}{\partial t}|\psi(t)\rangle =\hat H|\psi(t)\rangle, ] 其中 (\hbar=h/(2\pi))，(\hat H) 是表示总能量的哈密顿算符。这种演化是幺正的：它保持归一化，并且可逆。因此，量子态的确定性演化与对测量结果的概率性预测可以同时成立。(ocw.mit.edu)
量子化并不意味着每个可测量的物理量总是只能取离散值。算符可以具有离散谱、连续谱，或同时具有两者。受限系统通常具有离散能级，而自由粒子则可以具有连续的能谱。边界条件和相互作用的形式决定了系统允许的状态。原子能级之间的跃迁解释了其特征性的发射频率和吸收频率。(ocw.mit.edu)
不确定性原理约束了不相容可观测量的统计分散程度。对于位置及其对应的动量，有 [ \Delta x,\Delta p\geq\frac{\hbar}{2}. ] 这里的不确定度是指定量子态下的标准差，而不仅仅是仪器误差。这一关系源于位置算符与动量算符的不对易性。因此，应将它与某次具体测量如何扰动系统的问题区分开来。(ocw.mit.edu)
量子隧穿是波动力学的另一个结果。即使粒子的能量低于势垒高度，它仍有非零概率穿过有限势垒，这与相应的经典粒子不同。这个过程不需要违反能量守恒；它是求解势垒两侧及内部的量子方程所得到的结果。(preskill.caltech.edu)
纠缠与诠释
当复合系统的状态无法用各组成部分的独立状态来描述时，就会出现量子纠缠；对于混合态，更一般的判据还要求它不能表示为乘积态的混合。纠缠系统呈现出的关联可以违反贝尔不等式。贝尔定理在其假设条件下，确立了基于局域隐变量的解释所受到的限制。这些关联并不能实现可控的超光速通信。(preskill.caltech.edu)
量子退相干是指系统与环境的相互作用抑制了子系统中某些不同状态之间的可观测干涉。它有助于解释为什么许多宏观系统表现出近似经典的行为。然而，解释经典行为为何出现，与解决测量问题并不是一回事；后者关注的是确定的观测结果如何与量子演化相联系。不同诠释，包括与哥本哈根学派相关的解释、多世界解释以及导波理论，对量子态和测量提出了不同的描述。(preskill.caltech.edu)
应用与适用范围
量子力学为半导体、激光和超导现象提供了理论基础。它也是量子计算机的设计方案与实际实现的基础；量子计算机通过操纵量子信息来完成特定的计算任务。量子计算并不意味着对所有问题都具有普遍的速度优势，其优势取决于具体任务和算法。(preskill.caltech.edu)
当相对论效应和粒子产生可以忽略时，非相对论量子力学是适用的。量子场论将这一框架扩展到场和可变的粒子数，为相对论性粒子物理学提供了理论框架。经典力学在适当条件下仍是有效的近似，并不会在任何可以采用量子描述的情形中都被弃用。(nobelprize.org)