势能

势能是与物理系统构型有关的能量，例如相互作用物体的相对位置，或弹性材料的形变。常见例子包括被举高并与地球相互作用的物体、被压缩的弹簧，以及彼此分离的电荷。与取决于运动状态的动能不同，势能描述的是依赖于构型的相互作用。势能通常用 $U$ 表示，也常用 $V$ 表示。它在国际单位制中的单位是焦耳，与其他形式的能量所用的单位相同。(openstax.org)

定义与参考零点

在经典力学中，势能通过保守力所做的功来定义。这种力所做的功只取决于初始和最终构型，而与连接两者的路径无关。对于从 $A$ 点到 $B$ 点的运动，

因此，这一曲线积分等于势能变化量的负值。如果力做正功，相应的势能就会减小；如果克服该力做功，势能就会增大。等价地说，保守力沿任意闭合路径所做的净功为零。(openstax.org)

在通常的经典力学中，势能的参考值可以任意选取。给 $U$ 加上一个常数，既不会改变势能差，也不会改变由势能确定的力。因此，可以选取一个方便的构型，将其势能规定为 $U=0$。负势能本身并不反常，它只是表示势能低于所选的参考值。严格来说，势能属于一个相互作用的系统，例如物体与地球组成的系统；不过，当其他组成部分被视为固定不动时，势能常被归于其中某个物体。(openstax.org)

与力及能量守恒的关系

由势能函数可以求出力。在一维情形下，

其中 $dU/dx$ 是势能函数的导数。在三维笛卡尔坐标系中，

其中 $\nabla U$ 是势能函数的梯度。负号表示力指向势能减小的方向，而不一定指向坐标值减小的方向。势能曲线越陡，力的大小就越大。(openstax.org)

对于由不随时间变化的保守相互作用支配、且没有其他能量传递的系统，其机械能为

下落的物体或振动的理想弹簧都体现了动能与势能之间的相互转化。当摩擦等力做功时，机械能不一定保持不变。在标准的质点描述中，这些非保守力所做的功满足 $W_{\mathrm{nc}}=\Delta(K+U)$。这并不意味着能量被消灭：能量可能转移到系统的内部自由度，也可能传递给周围环境。(openstax.org)

引力势能

在地球表面附近，重力加速度 $g$ 近似为常数，质量为 $m$ 的物体，其势能变化量为

若选取高度 $h=0$ 处为势能零点，就有 $U=mgh$。将物体举高会使物体—地球系统的势能增大；使物体下降则会使该势能减小。当物体到地心的距离变化足够大，以致 $g$ 发生明显变化时，这一近似的准确性就会降低。(openstax.org)

对于质量分别为 $M$ 和 $m$ 的两个质点，若规定两者相距无穷远时势能为零，则牛顿引力给出的势能为

其中 $G$ 为引力常数，$r$ 为两者之间的距离。两个质点越靠近，$U$ 就越负。对于彼此不重叠、质量分布具有球对称性的物体，只要 $r$ 取两者中心之间的距离，同一公式也适用。对于孤立的二体系统，相对于这一参考零点，总能量为负表明系统处于引力束缚运动状态。(openstax.org)

弹性势能与电势能

遵循胡克定律的理想弹簧产生的回复力为 $F_x=-kx$，其中 $k$ 为弹簧劲度系数，$x$ 为相对于未形变长度的位移。若规定 $x=0$ 时 $U=0$，则有

压缩和拉伸都会使这一势能增大。该二次表达式适用于弹簧响应近似为线性、且能量损失可以忽略的范围。(openstax.org)

对于真空中两个静止的点电荷，若选取相距无穷远时为势能零点，库仑定律给出

在这一约定下，同号电荷的相互作用能为正，异号电荷的相互作用能为负。对于处于给定外部静电场中的电荷 $q$，有 $U=q\phi$，其中 $\phi$ 为电势。电势是单位电荷所具有的能量，而不是能量本身。由多个点电荷组成的系统，其相互作用能等于所有不同电荷对的相互作用能之和，每一对只计一次。(openstax.org)

势能图与量子力学

$U(x)$ 的图像可以揭示可能的运动情况和平衡状态。当机械能 $E$ 固定时，经典运动只能发生在满足 $K=E-U(x)\geq0$ 的区域。通常，转折点出现在 $E=U(x)$ 的位置，粒子的速度方向在此反转。平衡位置满足 $dU/dx=0$。严格局部极小值对应稳定平衡，局部极大值对应不稳定平衡；若二阶导数为零，则必须考察更高阶的变化情况。(openstax.org)

在量子力学中，势能函数出现在薛定谔方程中，并参与确定波函数和允许的能量。与经典粒子不同，量子粒子在 $U>E$ 的区域中也可以有非零的出现概率。穿过有限势垒的过程称为量子隧穿；对于不随时间变化的势垒，这一过程并不违反能量守恒。(ocw.mit.edu)