哈密顿力学 · aiwiki.page

哈密顿力学是经典力学的一种表述形式，以广义坐标及其共轭动量描述系统的演化，并由称为哈密顿量的函数支配这一演化。对于许多常见的力学系统，这个函数代表以位置和动量表示的总能量。哈密顿方程提供了不同于牛顿运动定律的描述方式；应用于等价系统时，两者给出相同的物理预言。这一表述还为统计物理和量子物理提供了所需的数学结构。(ocw.mit.edu)

历史发展

威廉·罗 Rowan·哈密顿将光学中的数学方法应用于动力学，发展出了这一理论。他的论文《论动力学的一种通用方法》和《动力学通用方法第二论》分别发表于1834年和1835年。这两篇论文通过与作用量相关的特征函数和主函数描述运动，引入了后来成为哈密顿—雅可比理论核心的思想。第二篇论文明确给出了哈密顿运动方程。(maths.tcd.ie)

坐标、动量与哈密顿量

对于具有 $n$ 个自由度的系统，广义坐标 $q_1,\ldots,q_n$ 确定其构型。这些坐标可以是笛卡尔坐标、角度或其他独立变量。从拉格朗日量 $L(q,\dot q,t)$ 出发，共轭动量定义为

p_i=\frac{\partial L}{\partial\dot q_i}.

这些是广义动量，不一定是通常意义上的线性动量。其具体含义取决于所用坐标和拉格朗日量。对速度变量进行勒让德变换，即可得到哈密顿量：

H(q,p,t)=\sum_{i=1}^{n}p_i\dot q_i-L(q,\dot q,t),

其中，速度必须用 $q,p,t$ 表示。因此，在哈密顿表述中，位置和动量成为独立变量。(mitp-content-server.mit.edu)

这种常规构造要求动量与速度之间的关系局部可逆。一个充分条件是：拉格朗日量对速度变量的海森矩阵非奇异，其矩阵元为 $\partial^2L/\partial\dot q_i\partial\dot q_j$ 。如果这一条件不成立，就不能直接求逆，而需要额外采用处理约束的方法。(ocw.mit.edu)

对于使用笛卡尔坐标、势能仅依赖位置的粒子系统，

H=\sum_a\frac{\mathbf p_a^2}{2m_a}+V(q).

这里的两项分别是动能和势能。哈密顿量并不总是等于物理上的总能量：随时间变化的坐标变换可能使哈密顿量出现附加项。(ocw.mit.edu)

哈密顿方程

系统的演化方程为

\dot q_i=\frac{\partial H}{\partial p_i}, \qquad \dot p_i=-\frac{\partial H}{\partial q_i}.

计算这些偏导数时，其余独立变量保持不变。这 $2n$ 个一阶微分方程取代了通常描述坐标的 $n$ 个二阶方程。在满足通常的存在性和唯一性条件时，所有坐标和动量的初始值决定一条轨迹。对于正则的拉格朗日量，这些方程与欧拉—拉格朗日方程等价。(mitp-content-server.mit.edu)

一个简单的例子是质量为 $m$ 、弹簧劲度系数为 $k$ 的谐振子：

H(q,p)=\frac{p^2}{2m}+\frac{kq^2}{2}.

哈密顿方程给出 $\dot q=p/m$ 和 $\dot p=-kq$ ，由此得到 $\ddot q+(k/m)q=0$ 。其角频率为 $\sqrt{k/m}$ 。当 $m,k$ 均为正值时，能量恒定且非零的轨迹在坐标—动量平面上为椭圆。(mitp-content-server.mit.edu)

相空间与守恒定律

由坐标和动量构成的 $2n$ 维空间称为相空间。其中的一个点代表系统的瞬时状态，而时间演化则定义了这一空间中的流。与构型空间不同，相空间包含动量信息，因此能够区分位置相同但动量不同的状态。(mitp-content-server.mit.edu)

两个函数的泊松括号定义为

\{f,g\}=\sum_i \left( \frac{\partial f}{\partial q_i}\frac{\partial g}{\partial p_i} -\frac{\partial f}{\partial p_i}\frac{\partial g}{\partial q_i} \right).

于是，演化可以写成

\frac{df}{dt}=\{f,H\}+\frac{\partial f}{\partial t}.

若量 $f$ 不显含时间，且满足 $\{f,H\}=0$ ，则它是守恒量。特别地， $dH/dt=\partial H/\partial t$ ，因此不显含时间的哈密顿量是守恒的。如果 $H$ 不依赖某个坐标 $q_i$ ，则其共轭动量 $p_i$ 守恒。(damtp.cam.ac.uk)

刘维尔定理指出，哈密顿演化保持相空间体积不变。相空间中的区域可以拉伸和变形，但体积不会改变；即使哈密顿量显含时间，这一结论也成立。这一性质是统计力学中系综演化的基础。相比之下，普通耗散运动在通常的坐标—动量表述中一般不保持相空间体积不变。(damtp.cam.ac.uk)

正则变换与哈密顿—雅可比理论

正则变换改变相空间坐标，并在对哈密顿量作适当变换后保持哈密顿方程的形式不变。这类变换可以混合坐标与动量，因此比仅改变构型坐标的变换更为一般。它们保持泊松括号以及底层的辛结构不变，后者刻画了坐标与动量之间的配对关系。对于随时间变化的变换，还需要对变换后的哈密顿量加入修正项。(mitp-content-server.mit.edu)

哈密顿—雅可比方程通过主函数 $S(q,t)$ 表述动力学：

\frac{\partial S}{\partial t} +H\left(q,\frac{\partial S}{\partial q},t\right)=0.

其解可生成能够简化运动的正则变换。对于适当的可积系统，这一方法可导出作用量—角坐标：作用量保持不变，而角变量均匀变化。这些坐标为微扰理论提供了出发点，不过只有在特殊情况下才能求得所需的解。(mitp-content-server.mit.edu)

与量子理论及数值计算的联系

在量子力学中，正则量子化将经典正则变量替换为满足相应对易关系的算符。经典哈密顿量为构造哈密顿算符提供了依据，但量子化并不是不受限制的替换规则：复杂的经典表达式可能带来算符排序问题和高阶修正。(damtp.cam.ac.uk)

在数值计算中，辛积分器在近似哈密顿演化的同时保持其辛结构。分裂方法将较简单的哈密顿量分量所对应的、可精确求解的流进行复合，以构造一个近似演化步。这种结构保持性质并不等同于原哈密顿量的精确守恒；数值格式一般不能保证后者。(mitp-content-server.mit.edu)