欧拉–拉格朗日方程

欧拉–拉格朗日方程是一类微分方程，用于刻画使积分泛函驻定的函数：对于这样的函数，任何允许的无穷小变分都使泛函的一阶变化为零。它们在变分法中处于核心地位。在经典力学中，它们通过作用量的驻定条件给出运动方程；在场论中，它们给出相应的场方程。驻定是光滑极值的必要条件，但仅凭驻定条件并不能判定极小值或极大值。(damtp.cam.ac.uk)

数学表述

考虑泛函

J[y]=\int_a^b F(x,y(x),y'(x))\,dx,

其中端点值 $y(a)$ 和 $y(b)$ 已给定。这里， $F$ 是足够光滑的被积函数， $y'=dy/dx$ 。使泛函驻定的足够光滑的函数满足

\boxed{\frac{\partial F}{\partial y} -\frac{d}{dx}\left(\frac{\partial F}{\partial y'}\right)=0.}

求偏导数时，将 $x,y,y'$ 视为 $F$ 的相互独立的自变量；而 $d/dx$ 则沿函数 $y(x)$ 对所得表达式求导。(math.mit.edu)

若有多个因变量函数 $y_1,\ldots,y_n$ ，则每个函数都对应一个方程：

\frac{\partial F}{\partial y_i} -\frac{d}{dx}\left(\frac{\partial F}{\partial y_i'}\right)=0, \qquad i=1,\ldots,n.

这些方程通常包含二阶导数，不过，特殊或退化的被积函数可能使方程的阶数降低。(web.mit.edu)

由一阶变分推导

将 $y$ 替换为

y_\varepsilon(x)=y(x)+\varepsilon\eta(x),

其中 $\eta(a)=\eta(b)=0$ ，以保持端点值不变。一阶变分为

\delta J[y;\eta] =\left.\frac{d}{d\varepsilon}J[y+\varepsilon\eta]\right|_{\varepsilon=0} =\int_a^b\left(F_y\eta+F_{y'}\eta'\right)\,dx.

分部积分得

\delta J =\left[F_{y'}\eta\right]_a^b +\int_a^b\left(F_y-\frac{d}{dx}F_{y'}\right)\eta\,dx.

边界项为零。要求剩余的积分对每个允许的 $\eta$ 都为零，就必然要求 $\eta$ 的系数为零，从而得到欧拉–拉格朗日方程。这一推论就是变分法基本引理。(damtp.cam.ac.uk)

经典力学

对于相互独立的广义坐标 $q_i(t)$ ，用拉格朗日量 $L(q,\dot q,t)$ 定义作用量：

S[q]=\int_{t_1}^{t_2}L(q,\dot q,t)\,dt.

在端点固定的变分下，驻定条件给出

\boxed{\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial\dot q_i}\right) -\frac{\partial L}{\partial q_i}=0.}

这一表述在可逆的广义坐标变换下保持形式不变，因此可以用位置、角度及其他适当的变量来描述运动。(damtp.cam.ac.uk)

对于一个质量恒为 $m$ 、在仅依赖位置的势作用下做一维运动的粒子，

L=\frac12m\dot x^2-V(x).

第一项是动能， $V$ 是势能。代入可得

m\ddot x=-\frac{dV}{dx},

这就得到了保守力作用下的牛顿第二运动定律。(damtp.cam.ac.uk)

守恒量

共轭动量为

p_i=\frac{\partial L}{\partial\dot q_i}.

如果 $L$ 不依赖于 $q_i$ ，则该坐标称为循环坐标或可忽略坐标，其对应方程意味着 $\dot p_i=0$ 。如果 $L$ 不显含时间，那么

E=\sum_i\dot q_i p_i-L

是守恒的。对于通常的不显含时间、动能为速度的二次型且势能与速度无关的力学拉格朗日量，该式等于总能量。这些结果都是诺特定理的实例，该定理将作用量的连续对称性与守恒定律联系起来。(damtp.cam.ac.uk)

几何示例：最短曲线

用 $y(x)$ 表示的平面曲线，其长度为

J[y]=\int_a^b\sqrt{1+(y')^2}\,dx.

由于被积函数不依赖于 $y$ ，其欧拉–拉格朗日方程变为

\frac{d}{dx}\left(\frac{y'}{\sqrt{1+(y')^2}}\right)=0.

因此， $y'$ 为常数，所得曲线就是两个固定端点之间的直线段。这说明了如何将以整个函数为对象的优化问题转化为微分方程。(math.mit.edu)

在弯曲空间中，类似的变分表述会导出测地线方程。例如，由度量张量构造的动能型拉格朗日量

L=\frac12g_{ij}(q)\dot q^i\dot q^j

可导出以仿射参数表示的测地线方程。(damtp.cam.ac.uk)

场与多个自变量

对于区域 $\Omega$ 上的场 $\phi^A(x)$ ，考虑

S[\phi]=\int_\Omega \mathcal L(x,\phi^A,\partial_\mu\phi^A)\,d^dx.

在适当的边界条件下，驻定条件给出

\boxed{ \frac{\partial\mathcal L}{\partial\phi^A} -\partial_\mu\left( \frac{\partial\mathcal L}{\partial(\partial_\mu\phi^A)} \right)=0. }

重复出现的指标 $\mu$ 表示求和。这里， $\mathcal L$ 是拉格朗日密度。这些方程通常是偏微分方程，为构成量子场论基础的经典场论提供了变分框架。(damtp.cam.ac.uk)

边界条件与适用范围

区域内部的方程必须配以适当的边界条件。如果某个端点的自变量位置固定，但该端点处的函数值可以自由变化，那么在泛函不含额外端点项的前提下，边界项要求该端点处满足

\frac{\partial F}{\partial y'}=0.

这类要求称为自然边界条件。端点可移动时，还会产生其他条件。(web.mit.edu)

对于依赖于最高 $r$ 阶导数的被积函数，相应的高阶方程为

\sum_{k=0}^{r}(-1)^k \frac{d^k}{dx^k} \left(\frac{\partial F}{\partial y^{(k)}}\right)=0, \qquad y^{(0)}=y.

其推导需要反复进行分部积分，并对端点施加适当的限制。(web.mit.edu)

这些方程用于确定驻定的候选解，而不是证明最优性或解的存在性。要区分极小值、极大值和鞍点，还需要进一步分析。当解不具备经典微分方程所要求的光滑性时，可以改用弱积分形式表达驻定条件，从而将变分方法与弱解联系起来。(math.mit.edu)

参考来源

Calculus of Variations — Gilbert Strangmath.mit.edu
A Mathematical Primer — Rohan Abeyaratneweb.mit.edu