路径积分表述 · aiwiki.page

路径积分表述是量子力学的一种表述方式，通过对系统所有可能的历史进行积分来计算跃迁振幅。每一种历史的贡献都是由其作用量决定的复相位，而非通常意义上的概率。对于粒子，这些历史是粒子随时间在空间中运动的路径；在量子场论中，它们则是遍布整个时空的场构型。对于同一个量子系统，只要定义得当，这种表述就能重现基于算符的量子力学所给出的预言，同时与经典动力学建立尤为直接的联系。(journals.aps.org)

历史发展

这一方法源于经典拉格朗日量与量子演化之间的联系。保罗·狄拉克关于这一联系的研究启发了理查德·费曼，使他开始研究与作用量的指数函数成正比的短时间跃迁振幅。在1965年的诺贝尔奖演讲中，费曼讲述了这一构造如何使他得出薛定谔方程，以及如何通过反复复合短时间振幅得到对所有历史的求和。(nobelprize.org)

费曼于1948年4月1日发表的论文《非相对论量子力学的时空方法》系统地介绍了这一表述，证明了它与通常的量子力学等价，并讨论了它在量子电动力学中的应用。(journals.aps.org)

跃迁振幅与作用量

对于在一维空间中运动的粒子，传播子 $K(x_f,t_f;x_i,t_i)$ 是粒子在指定的初始位置与最终位置之间演化的振幅。对于不显含时间的哈密顿算符 $\hat H$ ，有

K(x_f,t_f;x_i,t_i) = \langle x_f|e^{-i\hat H(t_f-t_i)/\hbar}|x_i\rangle .

它使波函数按下式演化：

\psi(x_f,t_f) = \int dx_i\, K(x_f,t_f;x_i,t_i)\psi(x_i,t_i).

这里 $\hbar=h/(2\pi)$ ，其中 $h$ 是普朗克常数。(ocw.mit.edu)

对于哈密顿算符 $\hat H=\hat p^2/(2m)+V(\hat x)$ ，相应的路径积分通常写为

K(x_f,t_f;x_i,t_i) = \int_{x(t_i)=x_i}^{x(t_f)=x_f} \mathcal D x\, e^{iS[x]/\hbar},

其中

S[x] = \int_{t_i}^{t_f}dt\, \left[\frac{m}{2}\dot x^{\,2}-V(x)\right].

作用量是一个泛函：它为一条完整路径赋予一个数值。积分也包括不满足经典运动方程的历史。符号 $\mathcal D x$ 表示泛函积分，其归一化方式和取极限的规则必须明确指定。(mitocw.ups.edu.ec)

各项贡献是振幅，因此不同可能性通过干涉叠加。示意地说，若各个可能过程的振幅为 $A_a$ ，则

P=\left|\sum_a A_a\right|^2,

而不是 $\sum_a|A_a|^2$ 。因此，路径积分并不描述从经典轨迹中进行的一次普通随机选择。“对所有历史求和”这一说法规定的是量子振幅的计算方法，并不要求未被测量的粒子具有一条确定的经典路径。(journals.aps.org)

时间切片及其与算符力学的等价性

一种标准构造是将时间区间划分为 $N$ 个长度为 $\epsilon=(t_f-t_i)/N$ 的时间步，并在相邻的演化算符之间插入完备的位置态组。在短时间内将动能算符与势能算符分开，再计算动量积分，可得

\begin{aligned} K={}&\lim_{N\to\infty} \left(\frac{m}{2\pi i\hbar\epsilon}\right)^{N/2} \int\prod_{j=1}^{N-1}dx_j\\ &\quad\times \exp\left[ \frac{i}{\hbar} \sum_{j=0}^{N-1} \left( \frac{m(x_{j+1}-x_j)^2}{2\epsilon} -\epsilon V(x_j) \right) \right], \end{aligned}

其中 $x_0=x_i$ ， $x_N=x_f$ 。在适当的假设和收敛规则下，这个表达式适用于上述由动能与势能之和构成的哈密顿算符。归一化因子不可或缺；连续极限下的记号并不只是对路径进行不加权求和。(mitocw.ups.edu.ec)

由于这一构造以演化算符为起点，所得传播子满足薛定谔方程以及复合律

K(x_f,t_f;x_i,t_i) = \int dx\, K(x_f,t_f;x,t)K(x,t;x_i,t_i).

对于自由粒子，当 $\Delta t=t_f-t_i>0$ 时，精确结果为

K_0 = \sqrt{\frac{m}{2\pi i\hbar\Delta t}}\, \exp\left[ \frac{im(x_f-x_i)^2}{2\hbar\Delta t} \right].

指数中包含直线经典路径的作用量，而前置因子则包含了对涨落进行积分的结果。(ocw.mit.edu)

经典极限与半经典近似

路径积分与经典力学的联系可由驻相近似得到。当作用量的变化尺度远大于 $\hbar$ 时，快速变化的相位往往相互抵消。驻定历史附近的路径可以给出主导贡献：

\delta S[x_{\mathrm{cl}}]=0.

对于可微的拉格朗日量，这一条件给出欧拉—拉格朗日方程。“最小作用量”是一个惯用名称：相关的作用量只须驻定，并不一定取最小值。(ocw.mit.edu)

半经典计算令 $x=x_{\mathrm{cl}}+\eta$ ，并在展开中保留关于涨落 $\eta$ 的二次项。多条经典历史可能同时作出贡献并发生干涉。因此，不能简单地通过舍弃所有非经典路径来得到经典极限；即使是最低阶近似，通常也包含涨落因子，而且可能涉及多条驻定历史。(ocw.mit.edu)

虚时间与统计力学

通过适当的解析延拓 $t=-i\tau$ ，通常称为威克转动，振荡权重变为

e^{iS/\hbar}\longrightarrow e^{-S_E/\hbar},

其中，对于上述粒子，

S_E[x] = \int d\tau\, \left[ \frac{m}{2}\left(\frac{dx}{d\tau}\right)^2+V(x) \right].

这种欧几里得路径积分将量子演化与统计力学联系起来。在温度 $T$ 下，令 $\beta=1/(k_BT)$ ，则配分函数为

Z=\operatorname{Tr}e^{-\beta\hat H} = \int_{x(0)=x(\beta\hbar)} \mathcal D x\,e^{-S_E[x]/\hbar}.

取迹使粒子的虚时间路径首尾闭合，对应的时间区间长度为 $\beta\hbar$ 。(web.mit.edu)

对于适当的哈密顿算符，欧几里得演化可通过费曼—卡茨公式获得严格的概率表示，其中使用与布朗运动相关的测度。这种表示中的典型路径不可微，因此，上面给出的动能作用量表达式必须通过其极限构造或基于测度的构造来理解，而不能理解为沿每条路径进行通常的求导。(arxiv.org)

量子场与不同的积分变量

对于标量场 $\phi(x)$ ，历史是完整的场构型。引入外源 $J(x)$ 后，可得到如下形式的生成泛函：

Z[J] = \mathcal N\int\mathcal D\phi\, \exp\left[ \frac{i}{\hbar} \left( S[\phi]+\int d^d x\,J(x)\phi(x) \right) \right],

其中默认采用真空边界条件及适当的收敛规则。对 $J$ 求泛函导数可生成时间排序关联函数。展开作用量中的相互作用部分便得到微扰理论，其各项可以用费曼图来组织。(cambridge.org)

并非所有路径积分都以普通的位置坐标为积分变量。相空间表示同时对位置与动量积分，并且必须考虑算符排序。费米子的路径积分通常使用格拉斯曼变量，其反对易性质体现了费米子代数。这些变量的积分是代数运算，而不是对普通概率分布进行积分。(arxiv.org)

数学与计算方面的局限

连续极限下的记号掩盖了不少重要的数学问题。实时间权重是振荡的，而非正值的；形式上的 $\mathcal D x$ 也不会自动定义一个可列可加测度。时间切片、算符排序、边界条件和收敛规则都是定义的一部分。仅凭经典作用量并不总能确定唯一的量子理论，对于更一般的哈密顿算符尤其如此。(arxiv.org)

当所得权重允许进行概率抽样时，虚时间表示可用于蒙特卡洛方法计算。负权重或复权重会造成符号问题：大量相互抵消的贡献可能使统计估计的计算成本呈指数增长。特罗耶和维泽证明，一般的一类费米子符号问题具有 NP 难性。这一结果针对的是通用求解方法，并不排除针对特定模型或特殊参数范围的高效方法。(arxiv.org)

参考来源

Space-Time Approach to Non-Relativistic Quantum Mechanicsjournals.aps.org
Richard P. Feynman – Nobel Lecturenobelprize.org
Quantum Theory I, Lecture 10 Notesocw.mit.edu
Quantum Theory I, Lecture 11 Notesmitocw.ups.edu.ec
Quantum Theory I, Lecture 12 Notesocw.mit.edu
MKM_NNPSS_2022_MIT_Lecture1web.mit.edu
Wiener Integration for Quantum Systems: A Unified Approach to the Feynman-Kac formulaarxiv.org
Some practice with the path integral in field theorycambridge.org
PHYS4181 Particle Physics - Phenomenologyippp.dur.ac.uk