普朗克常数，符号为 (h)，是量子力学中的一个基本常数，它将光子的能量与其频率联系起来，并确定量子效应的特征尺度。该常数以马克斯·普朗克的名字命名，在国际单位制（SI）中的精确值为 (6.62607015\times10^{-34}) 焦耳秒。它具有作用量的量纲，即能量与时间的乘积，而不是单纯的能量量纲。(nist.gov)
数值、量纲与符号
国际单位制中用于定义单位的数值为
[ h=6.62607015\times10^{-34}\ \mathrm{J,s}. ]
由于一焦耳等于一千克平方米每平方秒，这个数值也可以写成 (6.62607015\times10^{-34}\ \mathrm{kg,m^2,s^{-1}})。该数值按定义是精确的，并非带有不确定度的实验估计值。不过，用于实现单位的实验测量仍有各自的不确定度。(nist.gov)
与之密切相关的约化普朗克常数，符号读作“h-bar”，为
[ \hbar=\frac{h}{2\pi} =1.054571817\ldots\times10^{-34}\ \mathrm{J,s}. ]
它同样是精确的，只是其十进制表示为无限小数。两者的区别对应于两种频率度量方式：普通频率 (\nu) 表示每秒的周期数，而角频率 (\omega=2\pi\nu) 则以弧度每秒表示相位的变化速率。因此，光子能量既可写作 (E=h\nu)，也可写作 (E=\hbar\omega)。(physics.nist.gov)
历史起源
普朗克于1900年研究黑体辐射时引入了这个常数。黑体辐射是处于热平衡状态的理想吸收体所产生的电磁辐射。当时的难题是解释观测到的辐射随频率变化的分布。普朗克在对物质谐振子与辐射交换能量的统计描述中，引入了与频率成正比的能量元 (\varepsilon=h\nu)，由此成功解释了这一分布。这是对能量交换完全连续这一处理方式的决定性突破。(nobelprize.org)
普朗克最初的工作应与后来对光的光子解释区分开来。1905年，阿尔伯特·爱因斯坦将量子观念推广到光本身，并用它解释了光电效应。在基本描述中，逸出的电子的最大动能为
[ K_{\max}=h\nu-\Phi, ]
其中 (\Phi) 为材料的逸出功。普朗克因发现能量量子而获得1918年诺贝尔物理学奖；爱因斯坦的光量子假说则是另一项独立的发展。(nobelprize.org)
能量、频率与物质波
对于频率为 (\nu) 的电磁辐射，每个光子携带的能量为 (h\nu)。因此，频率越高，单个光子的能量就越大。相比之下，提高单色光的强度可以增加光子的数量，而不改变每个光子的能量。对于真空波长为 (\lambda) 的辐射，
[ E=\frac{hc}{\lambda}, ]
其中 (c) 为真空中的光速。这些关系是将测得的辐射频率换算为能量差的基础。(ocw.mit.edu)
这个常数也出现在德布罗意关系中：
[ \lambda=\frac{h}{p}, ]
这一关系将波长与动量 (p) 联系起来。因此，物质波行为并不限于光子：电子及其他物质粒子也表现出波动性。采用波的记法时，动量也可等价地表示为 (p=\hbar k)，其中波数 (k=2\pi/\lambda)。由此，同一个常数既将能量与时间上的振荡联系起来，也将动量与空间上的振荡联系起来。(ocw.mit.edu)
这些方程并不意味着所有能量都是某个普适能量单位的整数倍。能级间距取决于具体的物理系统。例如，量子谐振子的能级为 (E_n=(n+\tfrac12)\hbar\omega)，而自由粒子则可以具有连续的能谱。因此，能量量子化是特定状态与约束条件所决定的性质，并不是仅仅在公式中写入 (h) 就会产生的结果。(ocw.mit.edu)
在量子动力学中的作用
约化普朗克常数出现在含时薛定谔方程中：
[ i\hbar\frac{\partial\psi}{\partial t}=\hat H\psi, ]
其中 (\psi) 为波函数，(\hat H) 为哈密顿算符。它确定了能量与量子相位演化速率之间的关系。对于能量确定为 (E) 的状态，其时间演化包含相位因子 (\exp(-iEt/\hbar))。(ocw.mit.edu)
它还确定了不确定性原理的尺度。同一坐标轴方向上的位置与动量满足
[ \Delta x,\Delta p_x\geq\frac{\hbar}{2}. ]
这里的不确定性指的是给定量子态下测量结果的统计离散程度，而不只是测量仪器的不完善。这一不等式源于位置算符与动量算符的非对易性。在相关作用量尺度远大于 (\hbar) 的适当条件下，经典描述便具有实用价值；这并不要求该物理常数本身发生变化。(ocw.mit.edu)
测量与千克
在国际单位制的新定义于2019年5月20日生效之前，(h) 的数值通过实验确定，所用单位以实物原器定义的千克为基础。修订后的国际单位制将这一关系倒转过来：(h) 现在具有固定的数值，而千克则通过它以及独立定义的米和秒来定义。所选定的数值保持了与原有质量标度的连续性。(nist.gov)
基布尔天平是实现这一定义的一种方法。它在不同的工作模式下比较机械量与电学量。电学测量使用与约瑟夫森效应和量子霍尔效应有关的量子标准，将电压和电阻与 (h) 及元电荷联系起来。在重新定义之前，可以利用已知质量来测定 (h)；重新定义之后，则可以利用固定的 (h) 来测定质量。实物标准砝码仍可用于日常校准，但其溯源性最终建立在常数之上，而不再依赖某个被唯一指定的金属实物原器。(nist.gov)