费米—狄拉克统计

费米—狄拉克统计是统计力学的一个分支，通过允许的量子态占据情况来描述包括电子在内的相同费米子。其核心约束是泡利不相容原理：每个完整的单粒子态至多容纳一个相同费米子。对于处于热力学平衡的独立费米子，它给出费米—狄拉克分布，描述一个态的平均占据数如何随其能量、温度和化学势变化。(damtp.cam.ac.uk)

量子基础

在量子力学中，无法用固定的个体标签来区分相同粒子。对于费米子，交换两个粒子的全部坐标，包括自旋变量，会使多粒子波函数变号：

\Psi(\ldots,x_i,\ldots,x_j,\ldots) = -\Psi(\ldots,x_j,\ldots,x_i,\ldots).

如果把两个相同粒子置于同一个单粒子态，反对称波函数就会为零。这是占据限制的量子力学根源。在相对论性量子场论的假设下，自旋—统计定理将费米子的交换行为与半整数自旋角动量联系起来。(damtp.cam.ac.uk)

完整态包含所有相关的量子标签。因此，两个电子若具有不同的自旋态，就可以占据同一个空间轨道，因为它们此时处于不同的完整态。不相容原理并不意味着电子必须具有不同的能量，因为多个不同的态可以具有相同的能量。(ocw.mit.edu)

占据分布

对于能量为 $\varepsilon$ 的单粒子态，平均占据数为

f(\varepsilon) = \frac{1}{\exp[(\varepsilon-\mu)/(k_{\mathrm B}T)]+1},

其中， $T$ 是绝对温度， $k_{\mathrm B}$ 是玻尔兹曼常数， $\mu$ 是化学势。实际占据数只能为零或一； $f$ 是其期望值，也等于该态被占据的概率。(fab.cba.mit.edu)

当 $T>0$ 时，由该公式可以直接得出：

$0<f(\varepsilon)<1$ 。
$f(\mu)=1/2$ 。
能量远低于 $\mu$ 的态几乎完全被占据。
能量远高于 $\mu$ 的态几乎为空。

这个函数描述的是每个态的占据情况，而不是关于能量的归一化概率分布。要计算粒子数，必须将它与可用态的数量结合起来。(fab.cba.mit.edu)

从巨正则系综推导

在巨正则系综中，系统与库交换能量和粒子，因而可以特别简便地推导出这一分布。定义 $\beta=1/(k_{\mathrm B}T)$ 。对于独立的态 $i$ ，不相容原理只允许 $n_i=0$ 和 $n_i=1$ 。因此，该态的巨配分函数为

\Xi_i = \sum_{n_i=0}^{1} e^{-\beta n_i(\varepsilon_i-\mu)} = 1+e^{-\beta(\varepsilon_i-\mu)}.

该态被占据的概率为

\langle n_i\rangle = \frac{e^{-\beta(\varepsilon_i-\mu)}} {1+e^{-\beta(\varepsilon_i-\mu)}} = f(\varepsilon_i).

对于彼此独立的态，总配分函数可以分解为乘积：

\Xi=\prod_i\Xi_i.

因此，分布分母中的 $+1$ 直接源于每个态恰好只有两种可能的占据情况。(fab.cba.mit.edu)

态密度与粒子数

态密度 $D(\varepsilon)$ 表示单位能量间隔内有多少可用的单粒子态。如果它统计的是整个系统的态，那么

N=\int D(\varepsilon)f(\varepsilon)\,d\varepsilon, \qquad U=\int \varepsilon D(\varepsilon)f(\varepsilon)\,d\varepsilon

分别给出独立粒子的平均粒子数和内能。自旋及其他简并度必须包含在 $D$ 中，或者作为单独的因子引入，但不能重复计数。在 $N$ 固定时，粒子数方程决定 $\mu(T)$ 。(damtp.cam.ac.uk)

对于由非相对论性自由粒子组成的均匀三维气体，

\varepsilon=\frac{p^2}{2m}, \qquad D(\varepsilon) = \frac{g_sV}{4\pi^2} \left(\frac{2m}{\hbar^2}\right)^{3/2} \sqrt{\varepsilon}.

这里， $p$ 是动量， $m$ 是粒子质量， $V$ 是体积， $g_s$ 表示能量相同的内部态数，且 $\hbar=h/(2\pi)$ ，其中 $h$ 是普朗克常数。不同的维数、束缚条件和能量—动量关系会产生不同的态密度，但不会改变独立费米子的占据公式。(ocw.mit.edu)

零温与简并压力

当 $T$ 趋近绝对零度时，分布变为阶跃形式：

f(\varepsilon)\longrightarrow \begin{cases} 1,&\varepsilon<\mu,\\ 0,&\varepsilon>\mu. \end{cases}

对于密度固定的宏观理想费米气体，零温化学势就是费米能 $E_{\mathrm F}$ 。粒子从最低的可用态开始填充，一直填充到这一能量。在均匀自由气体中，被占据的动量态构成一个球体，其边界就是费米面。(damtp.cam.ac.uk)

将粒子数密度记为 $n=N/V$ ，则

k_{\mathrm F} = \left(\frac{6\pi^2n}{g_s}\right)^{1/3}, \qquad E_{\mathrm F} = \frac{\hbar^2k_{\mathrm F}^2}{2m}, \qquad T_{\mathrm F}=\frac{E_{\mathrm F}}{k_{\mathrm B}}.

当 $T\ll T_{\mathrm F}$ 时，气体处于强量子简并状态。对于零温下的三维非相对论性理想气体，

U=\frac35NE_{\mathrm F}, \qquad P=\frac25nE_{\mathrm F}.

这种非零的简并压力源于不相容原理迫使粒子占据能量越来越高的动量态。它不需要热激发，也不需要粒子间存在排斥力。(damtp.cam.ac.uk)

低温行为

在较低的非零温度下，尖锐的占据边缘在宽度约为 $k_{\mathrm B}T$ 的能量区间内变得平滑。能量远低于化学势的态仍几乎完全被占据，而远高于化学势的态仍几乎为空。因此，热变化主要涉及费米面附近的态。(damtp.cam.ac.uk)

索末菲展开可用于计算含有 $f$ 的低温积分。对于足够光滑的函数 $\phi$ ，若 $\mu$ 远高于能量下限，则

\int_0^\infty \phi(\varepsilon)f(\varepsilon)\,d\varepsilon = \int_0^\mu\phi(\varepsilon)\,d\varepsilon + \frac{\pi^2}{6}(k_{\mathrm B}T)^2\phi'(\mu) +\cdots.

对于密度固定的三维非相对论性理想气体，由此得到

\mu(T) = E_{\mathrm F} \left[ 1-\frac{\pi^2}{12} \left(\frac{T}{T_{\mathrm F}}\right)^2 +\cdots \right],

而定容热容的首项为

C_V = \frac{\pi^2}{2}Nk_{\mathrm B}\frac{T}{T_{\mathrm F}} +\cdots.

这种对温度的线性依赖，与经典单原子理想气体不随温度变化的热容形成对比。(damtp.cam.ac.uk)

与其他统计的比较

玻色—爱因斯坦统计描述相同玻色子，其态占据数可以是任意非负整数。对于独立玻色子，

f_{\mathrm{BE}}(\varepsilon) = \frac{1}{e^{\beta(\varepsilon-\mu)}-1}.

分母中的减号取代了费米子分布中的加号，使单个态可以具有很大的占据数。(fab.cba.mit.edu)

当每个态的占据数很小时，这两种量子分布都趋近于麦克斯韦—玻尔兹曼统计。对于费米子，若 $e^{\beta(\varepsilon-\mu)}\gg1$ ，则

f(\varepsilon)\simeq e^{-\beta(\varepsilon-\mu)}.

对于均匀的非相对论性气体，经典区间的条件可写为

\frac{n\lambda_T^3}{g_s}\ll1, \qquad \lambda_T=\frac{h}{\sqrt{2\pi mk_{\mathrm B}T}}.

因此，“高温”是相对于密度和粒子质量而言的，而不是由一个普适的温度阈值界定。足够稀薄的费米气体即使在较低的绝对温度下，也可以表现为经典气体。(damtp.cam.ac.uk)

应用

在金属中，电子态的占据情况解释了为何只有少部分电子对低温热激发有显著贡献。这为理解简并电子气的电子热容及其他性质提供了基础。(damtp.cam.ac.uk)

在半导体中，导带电子和电子空穴的浓度分别通过将相应能带的态密度与 $f$ 和 $1-f$ 相乘后积分来计算。化学势决定可用态的占据情况； $f=1/2$ 并不意味着该能量处确实存在一个态。当化学势位于带隙内时，这一区别尤为重要。(ocw.mit.edu)

在白矮星中，电子简并压力提供抵抗引力压缩的支撑。在足够高的密度下，必须用相对论性的电子能量关系替代非相对论性色散关系。占据规则仍然遵循费米—狄拉克统计，但由此得到的压力—密度关系会发生变化。(damtp.cam.ac.uk)

历史发展

恩里科·费米于1926年将不相容原理应用于单原子理想气体，提出了这一统计规律。他最初的处理采用了谐振子束缚以及当时已有的量子化方法。该论文的英译本保留了这一早期表述。(arxiv.org)

保罗·狄拉克在1926年10月1日发表的《论量子力学理论》中，发展了相同粒子的量子力学处理方法。他区分了对称与反对称的多粒子态，并将反对称性与不相容原理联系起来。这一统计的名称同时包含两人的姓氏，反映了他们对量子统计的贡献。(ethw.org)

适用范围与局限

费米子的交换对称性和不相容原理在相互作用系统中仍然成立。然而，描述指定单粒子能级占据情况的简单费米—狄拉克公式，对独立粒子才是精确的；它并不是相互作用多体问题的一般解。相互作用可以改变能量、关联和激发谱。(damtp.cam.ac.uk)

在费米液体理论中，某些相互作用系统在低能下可以用费米型准粒子来描述。这解释了为什么理想气体的推理在严格无相互作用系统之外仍然有用，但这种方法需要对激发作有效描述，而不能把每个真实粒子都等同于一个自由粒子态。(damtp.cam.ac.uk)

同样，任意非平衡费米子群体未必具有平衡态的占据函数。不相容原理限制了可能的占据情况，但它本身并不能使系统具有统一的温度和化学势。(fab.cba.mit.edu)

参考来源

Semiconductor Materials and Devicesfab.cba.mit.edu
Lecture 14 — Electronic, Optical and Magnetic Properties of Materialsocw.mit.edu
Toward a 1D Device Model, Part I: Device Fundamentalsocw.mit.edu
On the Quantization of the Monoatomic Ideal Gasarxiv.org
Fermi-liquid ground state of interacting Dirac fermions in two dimensionsarxiv.org