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科学 / dirac-equation

狄拉克方程

狄拉克方程是描述自旋½粒子的相对论性方程，解释了电子自旋，并为量子场论中费米子和反粒子的描述奠定基础。

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狄拉克方程是描述自旋角动量为½的粒子的相对论性波动方程，由保罗·狄拉克于1928年提出。它将量子力学与狭义相对论结合起来，最初用于描述电子。其数学结构能够解释电子的自旋和磁性质，并促成了对正电子的预言。在现代量子场论中，它描述旋量场的动力学；该场量子化后的激发包括粒子和反粒子。(nobelprize.org)

历史发展

非相对论性的薛定谔方程无法提供完整的电子相对论理论。狄拉克试图寻找一个对时间和空间坐标都只含一阶导数、同时满足能量、动量与质量之间相对论关系的方程。他的方案要求采用矩阵值系数和多分量波函数，而不是单一的标量函数。电子自旋及其相应的磁矩由此成为理论自然推导出的结果。(nobelprize.org)

该方程也存在负能量解。狄拉克提出了“空穴理论”来解释这些解，最终将其对应物确定为一种与电子质量相同、电荷相反的粒子。卡尔·安德森于1932年在实验中发现了正电子。狄拉克与埃尔温·薛定谔因对原子理论的贡献，共同获得了1933年的诺贝尔物理学奖。后来的场论解释不再需要将真空视为一个实际存在的、由已占据的负能量电子态构成的海洋。(nobelprize.org)

哈密顿形式与线性化

对于自由粒子，方程可以写为

iℏ∂ψ∂t=(c α⋅p^+βmc2)ψ,p^=−iℏ∇.i\hbar\frac{\partial\psi}{\partial t} = \left(c\,\boldsymbol{\alpha}\cdot\hat{\mathbf p} +\beta mc^2\right)\psi, \qquad \hat{\mathbf p}=-i\hbar\nabla.

其中，cc为光速，ℏ\hbar为约化普朗克常数，ψ\psi为四分量波函数。矩阵α1,α2,α3,β\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\beta作用于其各分量。右侧的算符是自由粒子的哈密顿算符。(ocw.mit.edu)

狄拉克的构造以如下关系为出发点：

E2=c2p2+m2c4.E^2=c^2\mathbf p^2+m^2c^4.

要求所提出的哈密顿算符的平方重现这一关系，就得到

{αi,αj}=2δijI,{αi,β}=0,β2=I,\{\alpha_i,\alpha_j\}=2\delta_{ij}I, \qquad \{\alpha_i,\beta\}=0, \qquad \beta^2=I,

其中，{A,B}=AB+BA\{A,B\}=AB+BA为反对易子。普通的数值系数无法满足这些条件，但矩阵可以。在三个空间维度中，满足这些条件的最小复矩阵表示为4×44\times4矩阵，这解释了方程为何采用四分量形式。(nobelprize.org)

一种常用表示为

αi=(0σiσi0),β=(I200−I2),\alpha_i= \begin{pmatrix} 0&\sigma_i\\ \sigma_i&0 \end{pmatrix}, \qquad \beta= \begin{pmatrix} I_2&0\\ 0&-I_2 \end{pmatrix},

其中，σi\sigma_i为泡利矩阵。不同的表示会改变分量的表达形式，但不会改变物理预言。(ocw.mit.edu)

协变形式与旋量

方程的相对论结构在其协变形式中清晰地体现出来：

(iℏc γμ∂μ−mc2)ψ=0.\left(i\hbar c\,\gamma^\mu\partial_\mu-mc^2\right)\psi=0.

取xμ=(ct,x)x^\mu=(ct,\mathbf x)，并采用度规约定 ημν=diag⁡(1,−1,−1,−1)\eta^{\mu\nu}=\operatorname{diag}(1,-1,-1,-1)，则伽马矩阵满足

{γμ,γν}=2ημνI4.\{\gamma^\mu,\gamma^\nu\}=2\eta^{\mu\nu}I_4.

重复出现的指标按求和约定处理。这些关系定义了一个克利福德代数，通过 γ0=β\gamma^0=\beta和γi=βαi\gamma^i=\beta\alpha_i即可恢复哈密顿形式的记法。在取ℏ=c=1\hbar=c=1的单位制中，方程变为 (iγμ∂μ−m)ψ=0(i\gamma^\mu\partial_\mu-m)\psi=0。(damtp.cam.ac.uk)

场ψ\psi是一个旋量，而不是普通的四维矢量。在洛伦兹变换下，它的变换同时作用于时空自变量和旋量分量。这一变换规律使方程具有洛伦兹协变性，并使其解具有自旋½态的变换性质。(damtp.cam.ac.uk)

用互补算符iℏc γμ∂μ+mc2i\hbar c\,\gamma^\mu\partial_\mu+mc^2作用于方程，可以证明自由狄拉克方程解的每个分量也都满足克莱因—戈尔登方程：

(□+m2c2ℏ2)ψ=0,□=1c2∂2∂t2−∇2.\left(\Box+\frac{m^2c^2}{\hbar^2}\right)\psi=0, \qquad \Box=\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2}-\nabla^2.

反之则不成立：一阶的狄拉克方程还要求各分量之间满足额外的关系。(damtp.cam.ac.uk)

守恒流与物理解释

狄拉克伴随定义为

ψˉ=ψ†γ0.\bar\psi=\psi^\dagger\gamma^0.

由方程及其伴随方程可以得到一个守恒流：

jμ=c ψˉγμψ,∂μjμ=0.j^\mu=c\,\bar\psi\gamma^\mu\psi, \qquad \partial_\mu j^\mu=0.

在单粒子解释下，有

ρ=ψ†ψ,j=c ψ†αψ,∂ρ∂t+∇⋅j=0.\rho=\psi^\dagger\psi, \qquad \mathbf j=c\,\psi^\dagger\boldsymbol{\alpha}\psi, \qquad \frac{\partial\rho}{\partial t}+\nabla\cdot\mathbf j=0.

密度ρ\rho非负。相比于将标量克莱因—戈尔登场视为单粒子波函数时得到的类似守恒密度，这是一个重要优势。在场论中，相应的流被解释为守恒的荷流，而不是普遍适用的粒子位置概率流。(damtp.cam.ac.uk)

对于自由粒子的每一个动量值，能量分支为

E±=±c2p2+m2c4,E_\pm=\pm\sqrt{c^2\mathbf p^2+m^2c^4},

每个分支各有两个独立的自旋态。量子化后，场的展开式包含粒子湮灭算符和反粒子产生算符。这两类物理激发都具有正能量；反粒子并不是携带负能量的物理粒子。(damtp.cam.ac.uk)

自洽的相对论量子化采用反对易关系，得到遵循费米—狄拉克统计的费米子。这一联系属于自旋—统计定理的内容，而不能仅由未经量子化的微分方程推出。(damtp.cam.ac.uk)

电磁耦合与非相对论极限

对于处于给定电磁势中、电荷为qq的粒子，采用最小耦合后，方程在国际单位制中的形式为

iℏ∂ψ∂t=[cα⋅(−iℏ∇−qA)+βmc2+qϕ]ψ.i\hbar\frac{\partial\psi}{\partial t} = \left[ c\boldsymbol{\alpha}\cdot \left(-i\hbar\nabla-q\mathbf A\right) +\beta mc^2+q\phi \right]\psi.

其中，ϕ\phi为标势，A\mathbf A为矢势。这一相互作用与规范理论所依据的局域相位对称性相容。若进一步将电磁场也量子化，就得到量子电动力学（QED）。(arxiv.org)

对于有质量的粒子，当能量远小于mc2mc^2时，去除静止能量对应的相位因子后，正能量部分便约化为泡利方程。其最低阶哈密顿算符为

HP=(p−qA)22m+qϕ−qℏ2mσ⋅B,H_{\mathrm P} = \frac{(\mathbf p-q\mathbf A)^2}{2m} +q\phi -\frac{q\hbar}{2m}\boldsymbol{\sigma}\cdot\mathbf B,

其中，B\mathbf B为磁场。磁相互作用项预言自旋磁矩的gg因子为2。更高阶项包括相对论性动能修正、自旋—轨道相互作用和达尔文项。通过福尔迪—沃特豪森变换，可以系统地分离粒子与反粒子部分。(ocw.mit.edu)

应用与局限

在库仑势中，该方程能够解释氢原子和类氢原子光谱精细结构中的主要相对论贡献。然而，基本的单电子方程并不包含兰姆位移或电子反常磁矩等辐射修正。这些效应需要超出最小耦合狄拉克方程的QED理论来解释。原子核运动、核结构和多电子相互作用也会带来进一步的修正。(damtp.cam.ac.uk)

当粒子的产生可以忽略时，固定粒子数的解释很有用。但当对产生或湮灭变得重要时，它就不能提供完整的描述：这些过程需要场论来处理，尽管狄拉克方程仍是场动力学的一部分。(damtp.cam.ac.uk)

该方程在凝聚态物理学中也有相应的有效理论形式。石墨烯中的低能电子激发遵循一个二维、近似无质量的狄拉克方程。其特征速度是取决于材料的费米速度，而非cc；相应的旋量分量可以表示子晶格自由度，而不是电子的真实自旋。这种类比针对的是激发的动力学，并不意味着电子的基本静止质量消失了。(arxiv.org)

相关形式与推广

四分量狄拉克旋量可以分解为左手征和右手征的二分量场。狄拉克质量项将这些分量耦合起来；当质量为零时，方程分离为外尔方程。马约拉纳场则满足一种实性条件，将场与其电荷共轭场等同起来，因此其粒子就是自身的反粒子。这些构造采用相同的旋量数学，但在独立自由度和允许携带的荷方面有所不同。(damtp.cam.ac.uk)

在弯曲时空中，可利用局域正交归一标架和自旋联络来推广该方程。自旋联络进入适用于旋量的协变导数，使旋量的动力学能够以与广义相对论相容的方式表述。(damtp.cam.ac.uk)

参考来源

  1. Paul A.M. Dirac – Factsnobelprize.org
  2. The Nobel Prizes in Physics 1901-2000nobelprize.org
  3. Paul A.M. Dirac – Biographicalnobelprize.org
  4. The Quantised Worldeducationalgames.nobelprize.org
  5. Paul A. M. Dirac – Nobel Lecturenobelprize.org
  6. Quantum Physics III Chapter 2: Hydrogen Fine Structureocw.mit.edu
  7. Exact correspondence between classical and Dirac-Pauli spinors in the weak-field limit of static and homogeneous electromagnetic fieldsarxiv.org