洛伦兹变换 · aiwiki.page

洛伦兹变换是保持事件之间相对论间隔不变的时空线性映射。在狭义相对论中，它将原点重合的不同惯性参考系中的测量结果联系起来，允许参考系之间存在相对运动，空间坐标轴的取向也可以不同。与牛顿物理学中的变换不同，洛伦兹变换可以混合空间坐标与时间坐标。其定义所依据的不变量包含真空光速 $c$ ，因此，由洛伦兹变换联系起来的观察者，即使对距离和时间间隔的测量结果不同，也会测得相同的光速。(feynmanlectures.caltech.edu)

历史与物理基础

这一变换以亨德里克·洛伦兹的名字命名。他对运动带电体和电磁学的研究中，包含了于1904年发表的一种变换形式。洛伦兹变换源于协调电磁理论与实验结果的尝试：当时的实验未能探测到物体相对于假想的传光以太的运动。1905年，阿尔伯特·爱因斯坦从相对性原理和光速不变原理出发，推导出了这一坐标变换，而无须假定以太或绝对静止的参考系存在。(nobelprize.org)

这一变换的物理动机与麦克斯韦方程组有关：其形式与洛伦兹变换相容，而不是与经典力学中的伽利略变换相容。按照爱因斯坦的解释，变换后的时间是运动参考系中同步时钟实际测得的时间，而不只是一个辅助性的数学变量。(feynmanlectures.caltech.edu)

沿单一坐标轴的标准推动变换

设 $S'$ 以恒定速度 $v$ 沿 $S$ 的 $x$ 轴正方向运动。假设两个参考系的空间坐标轴彼此平行，原点在 $t=t'=0$ 时重合，且时钟按爱因斯坦的光信号同步约定进行同步。同一事件在两个参考系中的坐标满足

\begin{aligned} x'&=\gamma(x-vt),\\ y'&=y,\\ z'&=z,\\ t'&=\gamma\left(t-\frac{vx}{c^2}\right), \end{aligned} \qquad \gamma=\frac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}}.

其中， $\gamma$ 是洛伦兹因子，且 $|v|<c$ 。这种不含空间旋转的变换称为推动变换。将带撇与不带撇的坐标互换，并把 $v$ 替换为 $-v$ ，即可得到其逆变换。这些方程变换的是赋予某一事件的坐标，并不会将事件实际移到别处。(physics.umd.edu)

当速度远小于 $c$ 时， $\gamma$ 趋近于1，上述方程趋近于 $x'=x-vt$ 、 $t'=t$ ，横向坐标则保持不变。因此，伽利略运动学是相对论运动学的低速极限。 $t'$ 中依赖于位置的项在伽利略变换中并不存在，却是相对论中时钟同步的关键。(feynmanlectures.caltech.edu)

不变间隔与矩阵形式

对于两个事件，采用以下符号约定定义时空间隔：

\Delta s^2=c^2\Delta t^2-\Delta x^2-\Delta y^2-\Delta z^2.

任何洛伦兹变换都保持这一量不变。正值、零值和负值分别对应类时、类光和类空间隔。因此，尽管洛伦兹变换通常会改变各个坐标差，它仍保持光锥以及间隔的分类不变。这一间隔所描述的几何空间是闵可夫斯基空间。(feynmanlectures.caltech.edu)

记 $X=(ct,x,y,z)^{\mathsf T}$ ，则变换可写为 $X'=\Lambda X$ ，其中 $\Lambda$ 是一个实 $4\times4$ 矩阵。若度量张量为 $\eta=\operatorname{diag}(1,-1,-1,-1)$ ，则保持间隔不变要求

\Lambda^{\mathsf T}\eta\Lambda=\eta.

标准推动变换的形式为

\Lambda= \begin{pmatrix} \gamma&-\gamma\beta&0&0\\ -\gamma\beta&\gamma&0&0\\ 0&0&1&0\\ 0&0&0&1 \end{pmatrix}, \qquad \beta=v/c.

与普通的欧几里得旋转不同，这一变换保持不变的是不定二次型，而不是正定的距离平方。(damtp.cam.ac.uk)

可测量的效应

时间膨胀。 对于静止于 $S'$ 中的时钟的两次滴答， $\Delta x'=0$ 。这两个事件在 $S$ 中的时间间隔满足 $\Delta t=\gamma\Delta\tau$ ，其中 $\Delta\tau$ 是该时钟的固有时。运动时钟所经历的时间小于在 $S$ 中测得的坐标时间间隔。(physics.umd.edu)

长度收缩。 一根静止于 $S'$ 中、沿运动方向放置且静止长度为 $L_0$ 的杆，在 $S$ 中的长度为 $L=L_0/\gamma$ 。测量这一长度时，必须在 $S$ 中同时记录杆两端的位置；这两个端点事件在 $S'$ 中并不同时发生。(feynmanlectures.caltech.edu)

同时性的相对性。 如果两个空间上分离的事件满足 $\Delta t=0$ ，那么 $\Delta t'=-\gamma v\Delta x/c^2$ 。因此，同时性取决于参考系。不过，正时正规洛伦兹变换仍保持具有因果联系的事件的时间先后顺序不变。(feynmanlectures.caltech.edu)

对坐标变换方程求微分，可得纵向速度变换：

u'_x=\frac{u_x-v}{1-u_xv/c^2}.

代入 $u_x=c$ ，便得到 $u'_x=c$ ，直接体现了光速不变性。(physics.umd.edu)

群结构与快度

洛伦兹变换构成洛伦兹群 $O(1,3)$ 。完整的洛伦兹群包括空间反射和时间反演。其正时正规子群由能够与恒等变换连续相连的变换组成，保持空间定向和时间方向不变，并具有六个连续参数：三个用于旋转，三个用于推动变换。加入时空平移后，就得到庞加莱群，它还允许坐标原点不同。(damtp.cam.ac.uk)

推动变换可以用快度 $\phi$ 参数化，其中

\tanh\phi=v/c,\qquad \gamma=\cosh\phi,\qquad \gamma v/c=\sinh\phi.

这些双曲函数将推动变换表示为双曲旋转。沿同一坐标轴接连进行推动变换时，快度直接相加，而对应的速度则按相对论速度叠加定律合成。(damtp.cam.ac.uk)

物理量的变换

洛伦兹变换不仅适用于事件坐标，也适用于四维矢量和张量。例如，能量与动量组合成四动量 $P=(E/c,p_x,p_y,p_z)$ 。在标准推动变换下， $E'=\gamma(E-vp_x)$ ， $p'_x=\gamma(p_x-vE/c^2)$ 。电场和磁场同样作为电磁场张量的分量一起变换。这一框架使电磁理论和量子场论能够采用不依赖于参考系的表述。(feynmanlectures.caltech.edu)