度量张量是一种数学结构，用于规定光滑流形上的局部几何测量。它为每个切空间赋予一个对称、非退化的双线性形式，并且这一形式随点的位置光滑变化。正定度量在黎曼几何中定义长度和角度；不定度量则是伪黎曼几何的基础，时空几何也属于这一范畴。度量张量是微分几何和广义相对论中的核心对象。(damtp.cam.ac.uk)
定义与代数结构
在 (n) 维流形 (M) 的一点 (p) 处，度量是一个映射 [ g_p:T_pM\times T_pM\longrightarrow\mathbb R. ] 它对每个自变量都是线性的，并且具有对称性： [ g_p(u,v)=g_p(v,u). ] 非退化性是指：若对所有 (v) 都有 (g_p(u,v)=0)，则 (u=0)。切空间是一个向量空间，因此这些条件描述的是每一点处的双线性代数性质。从整体上看，(g) 是一个 ((0,2)) 型协变张量场，而不只是一个数值数组。(damtp.cam.ac.uk)
黎曼度量还要求对每个非零向量 (v) 都有 (g_p(v,v)>0)。因此，它在每个切空间上给出一个内积。伪黎曼度量在保持非退化性的同时，允许平方范数取正值或负值。它的符号差记录了在将其对角化的基中，正方向和负方向各有多少个。洛伦兹度量有一个方向的符号与其余所有方向相反。在这种不定度量下，非零向量的平方范数也可能为零。(damtp.cam.ac.uk)
坐标表示
在局部坐标 (x^1,\ldots,x^n) 中，坐标向量 (\partial_i=\partial/\partial x^i) 构成一组基，并且 [ g_{ij}=g(\partial_i,\partial_j),\qquad g=g_{ij},dx^i\otimes dx^j. ] 这里，(\otimes) 表示张量积，重复出现的指标按照爱因斯坦求和约定求和。这些分量构成一个对称矩阵，具有 (n(n+1)/2) 个独立元素。对于切向量 (u) 和 (v)， [ g(u,v)=g_{ij}u^iv^j. ] 相应的线元通常写作 (ds^2=g_{ij}dx^idx^j)。(damtp.cam.ac.uk)
在坐标变换 (x\mapsto x') 下， [ g'{ab} =\frac{\partial x^i}{\partial x'^a} \frac{\partial x^j}{\partial x'^b},g{ij}. ] 尽管矩阵元素会改变，双线性配对和线元却保持不变。这一变换使用的是逆坐标变换的雅可比矩阵。因此，度量张量是一个与坐标无关的几何对象；其分量矩阵只是它的一种表示。(damtp.cam.ac.uk)
长度、角度与距离
对于黎曼度量，切向量的范数为 [ |v|_g=\sqrt{g(v,v)}, ] 而非零向量之间的夹角由下式确定： [ \cos\theta=\frac{g(u,v)}{|u|_g|v|g}. ] 分段光滑曲线 (\gamma:[a,b]\to M) 的长度由以下积分给出： [ L_g(\gamma)=\int_a^b \sqrt{g{\gamma(t)}(\dot\gamma(t),\dot\gamma(t))},dt. ] 这一长度在正则重参数化下保持不变。在连通流形上，取连接两点的曲线长度的下确界，便可定义一个距离函数。(damtp.cam.ac.uk)
必须注意，度量张量与度量空间中的度量有所不同：(g_p) 将同一点处的两个切向量配对，而距离函数则将流形上的两个点配对。黎曼几何由前者构造后者。不定的时空度量无法通过同样的正长度构造，直接定义通常意义上的度量空间距离。(people.maths.ox.ac.uk)
示例
在欧几里得空间的笛卡尔坐标中，(g_{ij}=\delta_{ij})，即单位矩阵，由此得到通常的欧几里得距离。在平面的极坐标中， [ ds^2=dr^2+r^2d\phi^2. ] 这些并非常数的分量描述的仍是同一个平坦几何，这说明仅凭分量随坐标变化，并不能断定存在曲率。(people.maths.ox.ac.uk)
对于半径为 (R) 的球面，从周围欧几里得空间继承的度量为 [ ds^2=R^2d\theta^2+R^2\sin^2\theta,d\phi^2, ] 其中 (\theta) 为余纬。球坐标描述在两极处失效，但度量本身在那里仍然光滑。更一般地，将环境空间的黎曼度量限制在嵌入子流形的切向量上，就得到一个诱导度量。(people.maths.ox.ac.uk)
逆度量与几何微分
非退化性保证了逆矩阵 (g^{ij}) 的存在，它满足 [ g^{ik}g_{kj}=\delta^i{}j. ] 度量将切空间与其对偶空间对应起来，使向量可以转换为余向量，反之亦然： [ v_i=g{ij}v^j,\qquad v^i=g^{ij}v_j. ] 这些运算称为指标的降阶与升阶。它们还使两个同为协变或同为逆变的指标能够进行张量缩并。(preposterousuniverse.com)
度量唯一确定一个**列维–奇维塔联络**，它无挠且与度量相容，即 (\nabla g=0)。其系数为 [ \Gamma^k{}{ij} =\frac12g^{k\ell} (\partial_i g{j\ell}+\partial_j g_{i\ell}-\partial_\ell g_{ij}). ] 这一联络定义了协变导数。它的曲率由黎曼曲率张量描述，后者取决于度量、逆度量以及度量对坐标的一阶和二阶导数。(people.maths.ox.ac.uk)
采用仿射参数的测地线满足 [ \ddot x^k+\Gamma^k{}{ij}\dot x^i\dot x^j=0. ] 黎曼测地线在足够短的线段上局部使长度最小，但不一定在全局上使长度最小。度量还确定了不变的体积密度 [ d\mu_g=\sqrt{|\det(g{ij})|},|dx^1\cdots dx^n|, ] 其中行列式的因子抵消了坐标变换带来的变化。(people.maths.ox.ac.uk)
在广义相对论中的作用
广义相对论使用四维洛伦兹度量描述时空。采用 ((-+++)) 符号约定时，平直时空的线元为 [ ds^2=-c^2dt^2+dx^2+dy^2+dz^2, ] 其中 (c) 为光速。间隔平方为负、为正或为零，在局部分别对应类时、类空和零方向。沿类时世界线，固有时满足 (d\tau=\sqrt{-ds^2}/c)。(preposterousuniverse.com)
度量代表引力场，而不只是一个固定的背景。爱因斯坦场方程将由度量导出的曲率与物质和能量联系起来。自由下落的试验粒子沿类时测地线运动，而在几何光学近似下，光沿零测地线传播。(damtp.cam.ac.uk)