拉普拉斯算子 · aiwiki.page

拉普拉斯算子是一种二阶微分算子，将标量函数映射为其在正交笛卡尔坐标系中各个空间变量的二阶偏导数之和。它通常记作 $\Delta$ 或 $\nabla^2$ ，是偏微分方程中的核心算子，用于描述平衡势、扩散及其他空间过程。它的几何推广作用于弯曲空间上的函数，而其离散对应形式则作用于网格和图。(web.stanford.edu)

定义与基本性质

对于定义在欧几里得空间 $\mathbb{R}^n$ 的一个开集上的二阶连续可微函数 $f$ ，拉普拉斯算子定义为

\Delta f=\sum_{i=1}^{n}\frac{\partial^2 f}{\partial x_i^2}.

因此，在一维情形下，它就是通常的二阶导数；在三维情形下，

\Delta f=f_{xx}+f_{yy}+f_{zz}.

一个等价的定义是

\Delta f=\operatorname{div}(\nabla f),

即梯度的散度。它也是海森矩阵的迹。在笛卡尔坐标系中，这些表达式描述的是同一个算子。(web.stanford.edu)

该算子是线性的：

\Delta(af+bg)=a\Delta f+b\Delta g

其中 $a,b$ 为常数标量。它在平移和笛卡尔坐标的正交变换下保持不变：旋转坐标轴不会改变它所计算的标量值。与海森矩阵不同，拉普拉斯算子只保留各方向二阶导数的总和，而不保留它们完整的方向分布。(math.mit.edu)

一些数学文献采用相反的符号，将拉普拉斯算子定义为 $-\operatorname{div}\nabla$ 。本词条采用 $\Delta=\operatorname{div}\nabla$ ，因此在适当的边界条件下， $-\Delta$ 是非负的。比较公式时必须核对符号约定，尤其是在谱理论和几何学中。(arxiv.org)

局部解释

拉普拉斯算子衡量函数值与其邻近平均值之间的差异。若 $f$ 足够光滑，且 $S^{n-1}$ 为单位球面，则由泰勒展开可得

\frac{1}{|S^{n-1}|}\int_{S^{n-1}}f(x+r\omega)\,dS(\omega) = f(x)+\frac{r^2}{2n}\Delta f(x)+o(r^2).

因此，拉普拉斯算子的值为正，表明在主导阶上，周围足够小的球面上的平均值大于球心处的函数值；值为负则表明情况相反。(web.stanford.edu)

对于二阶可微的实值函数，在定义域内部的局部极小值点有 $\Delta f\geq0$ ，在内部的局部极大值点有 $\Delta f\leq0$ 。逆命题不成立：二阶导数之和不能确定该点是否为极值点。例如，

f(x,y)=x^2-y^2

满足 $\Delta f=0$ ，但原点是鞍点。(web.stanford.edu)

满足

\Delta f=0

的函数称为调和函数。对于完全包含在其定义域内的球面和球体，调和函数具有精确的平均值性质。在连通域上，非恒定的调和函数不可能在内部取得最大值或最小值。这些事实有助于解释许多平衡态边值问题解的唯一性。(web.stanford.edu)

坐标表达式

笛卡尔坐标下的公式不能原样用于曲线坐标：必须计入尺度因子和体积元。在平面极坐标 $(r,\theta)$ 中，

\Delta f = \frac{\partial^2f}{\partial r^2} +\frac1r\frac{\partial f}{\partial r} +\frac1{r^2}\frac{\partial^2f}{\partial\theta^2}.

在球坐标 $(r,\theta,\phi)$ 中，若 $\theta$ 为极角，则

\Delta f = \frac1{r^2}\frac{\partial}{\partial r} \left(r^2\frac{\partial f}{\partial r}\right) + \frac1{r^2\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\theta} \left(\sin\theta\frac{\partial f}{\partial\theta}\right) + \frac1{r^2\sin^2\theta} \frac{\partial^2f}{\partial\phi^2}.

原点和两极处表面上出现的奇点源于坐标，而非欧几里得空间中的算子本身。(ocw.mit.edu)

对于 $\mathbb{R}^n$ 中的径向函数 $f(x)=F(r)$ ，其中 $r=|x|>0$ ，有

\Delta f=F''(r)+\frac{n-1}{r}F'(r).

这可将具有旋转对称性的拉普拉斯方程和泊松方程化为常微分方程。(math.stanford.edu)

微分方程与物理应用

拉普拉斯算子出现在若干基本方程中：

拉普拉斯方程： $\Delta u=0$ ，描述无源的平衡场。
泊松方程： $\Delta u=f$ ，描述具有给定源项的平衡场。
热方程： $\partial_tu=\kappa\Delta u$ ，其中 $\kappa>0$ ，描述均匀、各向同性的扩散。
波动方程： $\partial_t^2u=c^2\Delta u$ ，描述均匀、各向同性介质中的波。(math.mit.edu)

在静电学中，介电常数为常数的介质内，电势 $V$ 满足

\Delta V=-\frac{\rho}{\varepsilon},

其中 $\rho$ 为电荷密度。在无电荷区域内，该方程化为拉普拉斯方程。牛顿引力势也由类似的方程描述。(web.stanford.edu)

在非相对论量子力学中，对于质量为 $m$ 的粒子，拉普拉斯算子给出动能算符的空间部分：

\widehat T=-\frac{\hbar^2}{2m}\Delta.

因此，薛定谔方程具有如下形式：

i\hbar\partial_t\psi = -\frac{\hbar^2}{2m}\Delta\psi+V\psi.

这里， $\psi$ 为波函数， $V$ 为势能。(damtp.cam.ac.uk)

通常的拉普拉斯算子假定空间响应是各向同性的。当输运系数随空间位置变化，或输运具有方向依赖性时，相关算子一般为

\operatorname{div}(A(x)\nabla u),

其中 $A(x)$ 为系数矩阵，而非 $\Delta$ 的常数倍。(math.stanford.edu)

边界条件与能量恒等式

在有界域 $\Omega$ 上，含有拉普拉斯算子的微分方程通常需要给定边界数据。边值问题中常用的边界条件包括：

狄利克雷条件：指定边界上的 $u$ ；
诺伊曼条件：指定其外法向导数 $\partial_nu$ ；
罗宾条件：指定上述两者的线性组合。(arxiv.org)

由散度定理可得格林第一恒等式。对于足够光滑的实值函数 $u,v$ ，有

\int_\Omega v\,\Delta u\,dx = -\int_\Omega\nabla v\cdot\nabla u\,dx +\int_{\partial\Omega}v\,\partial_nu\,dS.

取 $v=u$ ，并施加使边界项消失的边界条件，可得

\int_\Omega u(-\Delta u)\,dx = \int_\Omega|\nabla u|^2\,dx\geq0.

这将拉普拉斯算子与衡量空间变化的能量泛函联系起来。(math.stanford.edu)

作为 $L^2(\Omega)$ 等希尔伯特空间上的算子，拉普拉斯算子不能仅由其微分表达式确定：其定义域和边界条件至关重要。 $-\Delta$ 在适当的狄利克雷和诺伊曼边界条件下的实现均为自伴算符，但它们具有不同的谱和核。在有界连通域上，常数函数构成诺伊曼情形下的核；齐次狄利克雷条件则排除了非零常数函数。(arxiv.org)

傅里叶描述与谱描述

采用以 $e^{-ix\cdot\xi}$ 为核的傅里叶变换约定时，

\widehat{\Delta f}(\xi)=-|\xi|^2\widehat f(\xi).

因此，拉普拉斯算子将每个空间频率分量乘以一个与频率大小的平方成正比的因子。对于热方程，相应的时间演化因子是 $e^{-\kappa t|\xi|^2}$ ，这解释了为什么扩散对短波长变化的抑制尤其迅速。(arxiv.org)

在有界光滑域上，标准的狄利克雷或诺伊曼条件导出如下特征值问题：

-\Delta\phi_k=\lambda_k\phi_k.

其特征函数可以选取为 $L^2(\Omega)$ 的一组标准正交基。在齐次边界条件下，初始热分布可以展开为这些模态：

u(x,t)=\sum_k a_k e^{-\kappa\lambda_kt}\phi_k(x).

同样的空间模态通过 $\omega_k=c\sqrt{\lambda_k}$ 确定振动频率。(web.stanford.edu)

谱的性质取决于所处的空间。在整个 $\mathbb{R}^n$ 上，标准算子 $-\Delta$ 的谱为连续谱 $[0,\infty)$ ，而非有界域所特有的离散特征值序列。(arxiv.org)

几何推广

在配备了黎曼度量张量的流形上，相应的标量算子是拉普拉斯–贝尔特拉米算子：

\Delta_gf=\operatorname{div}_g(\nabla_gf).

在局部坐标中，

\Delta_gf = \frac1{\sqrt{|g|}} \sum_{i,j} \frac{\partial}{\partial x^i} \left( \sqrt{|g|}\,g^{ij} \frac{\partial f}{\partial x^j} \right),

其中 $|g|=\det(g_{ij})$ ， $(g^{ij})$ 为度量矩阵的逆矩阵。这是一个内蕴定义：不同坐标表达式描述的是同一个由几何结构确定的算子。当度量为欧几里得度量时，它就还原为通常的拉普拉斯算子。(math.mit.edu)

拉普拉斯算子也可作用于微分形式和其他几何对象。这类推广需要明确用于定义算子的结构；将标量拉普拉斯算子逐分量应用于任意张量场，并不自动得到一个内蕴算子。(math.mit.edu)

离散形式与数值形式

有限差分法在间距为 $h$ 的正方形网格上，用五点差分格式近似二维拉普拉斯算子：

(\Delta_hu)_{i,j} = \frac{ u_{i+1,j}+u_{i-1,j} +u_{i,j+1}+u_{i,j-1} -4u_{i,j} }{h^2}.

该格式将某个网格点的值与其四个最近邻点的值进行比较，并将微分方程转化为稀疏线性方程组。对于足够光滑的函数，泰勒展开表明，内部网格点上的近似误差为 $O(h^2)$ ；完整的数值解还取决于边界处理和稳定性。(math.mit.edu)

在图论中，无向加权图的图拉普拉斯矩阵为

L=D-A,

其中 $A$ 是该图的对称邻接矩阵， $D$ 是由顶点加权度构成的对角矩阵。它对顶点上的函数值作用如下：

(Lf)_i=\sum_jw_{ij}(f_i-f_j).

其能量恒等式为

f^\mathsf{T}Lf = \sum_{\{i,j\}\in E}w_{ij}(f_i-f_j)^2.

当边的权重为正时， $L$ 为半正定矩阵，其零特征值对应的特征空间由在每个连通分量上取常数值的函数组成。这一约定与 $-\Delta$ 的符号一致。图拉普拉斯矩阵的特征向量用于谱图绘制和图划分，将空间变化、能量与特征模态之间的关系推广到离散网络。(cs.yale.edu)

参考来源

Lectures on PDEmath.stanford.edu
Math 220B Lecture Notesweb.stanford.edu
155, Differential Analysis I, Fall 2021math.mit.edu
Lecture Notes for 18.155math.mit.edu
303 Fall 2009math.mit.edu
Spectral Theory of Partial Differential Equations — Lecture Notesarxiv.org
Lecture 11: The Laplacian in Polar Coordinatesocw.mit.edu
MIT Mathematics: 18.085 Fall 2010math.mit.edu
Spectral Graph Theory, Lecture 2: The Laplaciancs.yale.edu
Spectral Graph Theory, Fall 2019: Syllabuscs.yale.edu