热方程 · aiwiki.page

热方程是一种线性偏微分方程，用于描述温度如何随热传导而变化，更一般地，也描述某个量如何通过扩散而传播。其标准形式为 $u_t=\alpha\Delta u$ ，其中 $u$ 是位置和时间的函数， $\alpha>0$ 为扩散系数， $\Delta$ 为空间拉普拉斯算子。它是抛物型偏微分方程的典型代表，其演化具有平滑化和耗散的特征。(web.stanford.edu)

数学形式与物理推导

对于 $n$ 维欧几里得空间中的位置 $x$ 和时间 $t>0$ ，方程为

\frac{\partial u}{\partial t} =\alpha\Delta u, \qquad \Delta u=\sum_{j=1}^{n} \frac{\partial^2u}{\partial x_j^2}.

拉普拉斯算子是各空间方向上二阶偏导数之和。在一维情形下，方程变为 $u_t=\alpha u_{xx}$ 。由于方程具有线性，叠加原理成立：解的线性组合仍然是解，其初始条件和边界条件也按相同方式线性组合。(web.stanford.edu)

物理推导将能量守恒与傅里叶定律结合起来；后者指出，传导热通量与温度梯度的负值成正比。对于静止的各向同性材料，

\mathbf q=-k\nabla u, \qquad \rho c\,u_t=\nabla\cdot(k\nabla u)+Q.

其中， $k$ 为热导率， $\rho$ 为密度， $c$ 为比热容， $Q$ 为单位体积、单位时间内的产热量。当各系数为常数且不存在热源时，该方程化为标准热方程，其中热扩散率为 $\alpha=k/(\rho c)$ ，其单位为长度的平方除以时间。热通量表达式中的负号表示热量向温度较低的方向传递。(ocw.mit.edu)

初始条件与边界条件

热传导问题需要给定初始分布：

u(x,0)=f(x).

在有界空间区域 $\Omega$ 上，边界条件规定了该区域与周围环境的相互作用，从而构成初边值问题。狄利克雷条件规定温度；诺伊曼条件规定温度的法向导数，进而通过傅里叶定律规定传导热通量；罗宾条件则规定温度与其法向导数之间的关系。绝热边界上的法向热通量为零。边界条件决定热量是被保留、输入还是移出。(ocw.mit.edu)

当给定数据足够正则且满足相容条件时，经典解逐点满足方程。对于正则性较低的数据，可以采用弱解，即通过与测试函数相乘后积分来表达方程。在整个空间上，唯一性还要求限定适当的解类，例如有界解；若允许解在无穷远处不受限制地增长，唯一性就可能失效。(web.stanford.edu)

热核与解的公式

在 $\mathbb R^n$ 上，基本解又称热核，其表达式为

G(x,t)=\frac{1}{(4\pi\alpha t)^{n/2}} \exp\left(-\frac{|x|^2}{4\alpha t}\right).

对于适当的初始数据，解可写成如下卷积：

u(x,t)=\int_{\mathbb R^n}G(x-y,t)f(y)\,dy.

热核为正，且其积分为一。它对应一个正态分布，各坐标的方差均为 $2\alpha t$ ，因此其特征扩散距离按 $\sqrt{\alpha t}$ 增长。虽然当 $t$ 趋于零时，热核趋于集中在一点的分布，但在任意正时间它都是光滑的。(web.stanford.edu)

傅里叶变换给出了等价的描述：

\widehat u(\xi,t) =e^{-\alpha|\xi|^2t}\widehat f(\xi).

每个空间频率分量都按指数规律衰减，而且频率越高，衰减越快。这解释了为什么细尺度的变化比大尺度的变化消失得更快。(ocw.mit.edu)

在区间 $0<x<L$ 上，若两端温度均为零，分离变量法可得到正弦型傅里叶级数：

u(x,t)=\sum_{m=1}^{\infty} b_m e^{-\alpha(m\pi/L)^2t} \sin(m\pi x/L).

这些系数表征初始分布。在更一般的区域上，类似的展开使用与边界条件相适应的拉普拉斯算子的特征值与特征函数。(web.stanford.edu)

定性性质

最大值原理指出，对于有界时空区域上的无源热方程，经典解不能超过初始时刻或空间边界上所规定的最高温度。将同一结论应用于两个解之差，可以得到解的唯一性及其对给定数据的稳定性。若初始值和边界值非负，解就始终非负。(web.stanford.edu)

当材料性质为常数时，绝热边界使温度的空间积分保持不变。同时，在满足齐次狄利克雷条件或齐次诺伊曼条件的有界区域上，

\frac{d}{dt}\frac12\int_\Omega u^2\,dx =-\alpha\int_\Omega|\nabla u|^2\,dx\leq0.

因此，空间上的差异会逐渐耗散。在连通的有界绝热区域上，解趋于初始温度的空间平均值；若采用零温度的狄利克雷边界条件，解则趋于零。(web.stanford.edu)

概率与计算

在概率论中，热核是经过缩放的布朗运动的转移概率密度函数。标准布朗运动对应于 $\alpha=\tfrac12$ ；将其乘以 $\sqrt{2\alpha}$ ，便得到扩散系数为 $\alpha$ 的布朗运动。因此，同一个方程既能描述确定性的扩散，也能描述随机粒子分布的演化。(stat.berkeley.edu)

一种基本的有限差分法采用如下格式：

U_j^{m+1}=U_j^m+ r(U_{j+1}^m-2U_j^m+U_{j-1}^m), \qquad r=\frac{\alpha\Delta t}{(\Delta x)^2}.

对于标准的一维显式格式，数值稳定性要求 $r\leq\tfrac12$ 。隐式格式不受这一特定限制，但每一步都需要求解代数方程组。(ocw.mit.edu)

根据较晚时刻的测量结果恢复较早时刻的温度场，是一个反向逆问题。正向演化会抑制高频分量，因此反向恢复会使测量误差呈指数放大。这使得反向问题在通常的函数空间范数下是不适定的，即使解存在也是如此。(math.nyu.edu)