傅里叶变换 · aiwiki.page

傅里叶变换是一种数学运算，将关于时间或位置的函数转换为关于频率的函数。它通过复指数分量表示原函数，这些分量描述了振幅和相位各不相同的正弦振荡。傅里叶变换及其逆变换将同一信息的两种描述联系起来：一种在原始域中，另一种在频域中。它是调和分析、信号处理和数学物理中的核心工具。(numpy.org)

历史发展

傅里叶变换以约瑟夫·傅里叶的名字命名。他于1822年出版的《热的解析理论》（Théorie analytique de la chaleur）提出了利用三角函数展开研究热传导的方法。他的工作推动了人们对物理过程与将函数分解为振荡分量之间联系的认识。(people.math.harvard.edu)

傅里叶级数用离散的谐波表示周期函数。傅里叶变换将这一框架扩展到无界域上的函数，其频率通常连续变化。这一区别很重要：周期函数可以用离散谐波描述，而非周期函数可能需要用连续频谱描述。(math.utah.edu)

定义与解释

一种常见的约定将绝对可积函数 $f(t)$ 的傅里叶变换定义为

\widehat f(\nu)=\int_{-\infty}^{\infty} f(t)e^{-2\pi i\nu t}\,dt.

其中 $i^2=-1$ ， $\nu$ 表示频率，即每单位 $t$ 内的振荡周期数。该积分衡量每个振荡分量的贡献。在适当条件下，逆变换公式为

f(t)=\int_{-\infty}^{\infty} \widehat f(\nu)e^{2\pi i\nu t}\,d\nu.

例如，如果 $f$ 和 $\widehat f$ 都绝对可积，那么逆变换公式几乎处处成立，并且在 $f$ 的每个连续点成立。(math.utah.edu)

其他约定使用角频率 $\omega=2\pi\nu$ ，在逆变换公式中加入因子 $1/(2\pi)$ ，或将归一化因子对称地分配到正、逆变换中。这些约定描述的是同一种运算，但公式中的常数有所不同。(math.utah.edu)

变换后的函数通常取复数值。其模描述频谱强度，其辐角描述相位。一般不能舍弃相位，否则会丢失重建原函数所需的信息。对于实值输入，正频率和负频率满足共轭对称性： $\widehat f(-\nu)=\overline{\widehat f(\nu)}$ 。因此，负频率是数学表示的一部分，而不是实信号中额外的独立分量。(numpy.org)

数学性质

傅里叶变换是一种线性映射：对函数的线性组合进行变换，所得结果等于各函数变换的相同线性组合。平移 $f(t-t_0)$ 会使频谱乘以 $e^{-2\pi i\nu t_0}$ ；将 $f(t)$ 乘以 $e^{2\pi i\nu_0t}$ 则会使其频谱平移 $\nu_0$ 。尺度变换满足

\mathcal F\{f(at)\}(\nu) =\frac{1}{|a|}\widehat f(\nu/a), \qquad a\ne0.

因此，在一个域中的压缩对应于另一个域中的扩展。(math.stanford.edu)

在适当的正则性和衰减条件下，求导数对应于在频域中乘以频率因子：

\mathcal F\{f'\}(\nu)=2\pi i\nu\,\widehat f(\nu).

两个函数的卷积经变换后成为它们各自变换的逐点乘积。这些性质简化了对滤波器和常系数微分方程的分析。(math.stanford.edu)

普朗歇尔定理将傅里叶变换扩展到平方可积函数；采用上述约定时，有

\int_{\mathbb R}|f(t)|^2\,dt = \int_{\mathbb R}|\widehat f(\nu)|^2\,d\nu.

该定理使傅里叶变换成为希尔伯特空间 $L^2(\mathbb R)$ 上的酉算子。对于信号而言，这表示模平方的积分保持不变，通常可解释为信号能量守恒。(math.utah.edu)

离散计算

对于有限序列 $x_0,\ldots,x_{N-1}$ ，离散傅里叶变换（DFT）通常定义为

X_k=\sum_{n=0}^{N-1}x_n e^{-2\pi i kn/N}, \qquad k=0,\ldots,N-1.

其逆变换使用符号相反的指数，并带有因子 $1/N$ 。DFT 产生有限个频率系数，并自然地与序列的周期延拓相联系。(numpy.org)

快速傅里叶变换（FFT）是计算 DFT 的高效算法，而不是另一种数学变换。直接计算需要 $O(N^2)$ 次算术运算；标准 FFT 方法将其减少到 $O(N\log N)$ 。这种计算复杂性的降低使大规模频谱计算和卷积运算成为可能。(fftw.org)

采样与频谱的局限性

计算得到的频谱既反映原始信号，也反映信号的测量方式。采样可能造成混叠，使原本不同的连续频率无法区分。奈奎斯特–香农采样定理确立了带限信号的重建条件；在通常的严格带限表述中，信号的频谱成分必须低于采样率的一半。(docs.scipy.org)

有限时长的观测会引入频谱泄漏：将信号限制在一个时间区间内，会使其频谱分量扩散。窗函数可以减少远离峰值处的泄漏，但通常会使峰变宽。补零可以得到更密的频率网格，却不会增加测量信息，也不会提高区分相邻频率分量的固有能力。(docs.scipy.org)

应用

在信号处理中，傅里叶方法可揭示周期性分量，并实现频率选择性滤波。在图像处理中，多维变换用于描述空间频率，并支持滤波和重建。在光学中，傅里叶变换用于描述衍射图样；在X射线晶体学中，傅里叶关系将晶体结构与衍射测量结果联系起来。(numpy.org)

全局变换描述信号包含哪些频率，却不直接显示这些频率成分何时出现。短时傅里叶变换通过依次对信号的各个加窗片段进行变换来弥补这一局限，得到时间和频率分辨率均取决于所用窗函数的时频表示。(docs.scipy.org)