希尔伯特空间 · aiwiki.page

希尔伯特空间是配备了内积的向量空间，并且对于该内积所定义的距离是完备的。它将长度、垂直和投影等几何概念，与处理无穷序列和级数所需的收敛性质结合起来。希尔伯特空间既可以是有限维的，也可以是无限维的；其元素可以是坐标向量、序列或函数。它为线性代数与无限维分析之间的联系提供了一个框架。(ocw.mit.edu)

定义与完备性

希尔伯特空间 $H$ 定义在实数域或复数域上。其内积 $\langle x,y\rangle$ 具有正定性和共轭对称性，对一个变量是线性的，对另一个变量是共轭线性的。这里采用对第一个变量线性的约定；许多物理学教材采用相反的约定。由内积诱导的范数和距离为

\|x\|=\sqrt{\langle x,x\rangle}, \qquad d(x,y)=\|x-y\|.

完备性意味着，在这一距离下，每个柯西序列都收敛到 $H$ 中的一个元素。因此，当序列中的向量彼此变得任意接近时，其极限向量仍在该空间内。不要求完备性的内积空间通常称为预希尔伯特空间。(ocw.mit.edu)

每个希尔伯特空间都是赋范向量空间，也是完备的度量空间。完备的赋范向量空间称为巴拿赫空间，但并非每个巴拿赫空间的范数都来自内积。由内积诱导的范数满足平行四边形恒等式：

\|x+y\|^2+\|x-y\|^2=2\|x\|^2+2\|y\|^2.

反过来，这一恒等式也刻画了由内积诱导的范数。(ocw.mit.edu)

主要例子

有限维的例子包括 $\mathbb R^n$ 和 $\mathbb C^n$ ，其内积为

\langle x,y\rangle=\sum_{j=1}^{n}x_j\overline{y_j}.

这些空间都是完备的。序列空间 $\ell^2$ 由所有满足

\sum_{j=1}^{\infty}|x_j|^2<\infty

的序列 $x=(x_j)_{j\geq1}$ 组成，内积由相应的无穷和定义。它是一个基本的无限维例子。(ocw.mit.edu)

在测度论中，空间 $L^2(X,\mu)$ 由绝对值平方的积分有限的可测函数的等价类组成。其内积为

\langle f,g\rangle=\int_X f\,\overline g\,d\mu.

几乎处处相等的函数代表同一个元素：这样将它们视为同一元素，保证了范数为零的元素就是零元素。完备性使 $L^2$ 区别于许多更小的内积空间。例如， $[0,1]$ 上的连续函数配备 $L^2$ 范数后，并不构成完备空间。(ocw.mit.edu)

正交性与基

当 $\langle x,y\rangle=0$ 时，向量 $x$ 和 $y$ 正交。此时，勾股定理的形式为 $\|x+y\|^2=\|x\|^2+\|y\|^2$ 。柯西–施瓦茨不等式

|\langle x,y\rangle|\leq\|x\|\,\|y\|

给出了内积的上界，是许多收敛性论证的基础。(ocw.mit.edu)

标准正交基是一个标准正交向量族，其线性包在整个空间中稠密。在可分希尔伯特空间中——即具有可数稠密子集的希尔伯特空间中——可以选取有限或可数无限的标准正交基。对于无限基 $(e_n)$ ，每个向量都可以展开为

x=\sum_{n=1}^{\infty}\langle x,e_n\rangle e_n, \qquad \|x\|^2=\sum_{n=1}^{\infty}|\langle x,e_n\rangle|^2.

该级数按范数收敛，第二个等式称为帕塞瓦尔恒等式。与代数意义上的基（线性代数）不同，标准正交基下的展开通常需要无穷项，而非有限项。这些恒等式是用希尔伯特空间研究傅里叶级数的基础。每个无限维可分希尔伯特空间，都与同一标量域上的 $\ell^2$ 等距同构。(ocw.mit.edu)

投影与表示

对于每个闭线性子空间 $M\subseteq H$ ，每个向量 $x$ 都有唯一的分解

x=P_Mx+z,\qquad P_Mx\in M,\quad z\in M^\perp.

在所有 $m\in M$ 中，向量 $P_Mx$ 是使 $\|x-m\|$ 取得最小值的唯一向量。这一正交投影定理将作垂线的几何思想推广到了无限维情形。闭性至关重要：非闭子空间不一定包含最近点。(ocw.mit.edu)

里斯表示定理指出，对于每个有界线性泛函 $F:H\to\mathbb F$ ，都存在唯一的表示向量 $y$ ，使得

F(x)=\langle x,y\rangle, \qquad \|F\|=\|y\|.

该定理将连续对偶空间与希尔伯特空间自身对应起来；在复数情形下，按照这里采用的约定，这一对应是共轭线性的。这两个结果都关键地依赖于完备性。(ocw.mit.edu)

算子

有界线性映射 $T:H\to H$ 称为有界线性算子，它具有唯一的伴随算子 $T^*$ ，由下式刻画：

\langle Tx,y\rangle=\langle x,T^*y\rangle.

在有限维情形下，伴随算子的矩阵是 $T$ 的矩阵的共轭转置。自伴算子满足 $T=T^*$ 。希尔伯特空间上的算子理论将矩阵方法推广到向量可以是函数、算子可以涉及积分或微分的空间。对于无界算子，必须明确考虑其定义域。(ocw.mit.edu)

应用

在量子力学中，纯态对应于复希尔伯特空间中的射线：仅相差一个整体相位的归一化向量表示同一个态。粒子的波函数通常属于某个 $L^2$ 空间。可观测量由自伴算子表示，复合系统则使用希尔伯特空间的张量积。内积给出跃迁振幅，其模的平方通过玻恩规则确定概率。(damtp.cam.ac.uk)

在机器学习中，再生核希尔伯特空间是点值求值泛函连续的函数希尔伯特空间。因此，求值可以表示为与某个核函数的内积。这一结构为核方法提供了基础，使得我们能够通过核函数值而非显式坐标，对可能为无限维的特征表示进行计算。并非所有函数希尔伯特空间都具有这一性质。(stat.berkeley.edu)