Lp空间

$L^p$空间是由绝对值的 $p$ 次幂可积的可测函数组成的向量空间；当 $p=\infty$ 时，则要求函数本质有界。几乎处处相等的函数被视为同一元素。这些空间将测度论与泛函分析联系起来：当 $1\le p\le\infty$ 时，它们是巴拿赫空间，而 $L^2$ 还具有希尔伯特空间的结构。指数 $p$ 决定了空间如何衡量函数的大小。(math.ucdavis.edu)

定义与几乎处处相等

设 $(X,\Sigma,\mu)$ 为测度空间，其中 $\Sigma$ 是σ代数，$\mu$ 是测度。函数可以取实数值或复数值。对于 $1\le p<\infty$，定义范数

这里的积分是勒贝格积分。于是，$L^p(X,\Sigma,\mu)$（常简写为 $L^p(X)$ 或 $L^p(\mu)$）由使上述量有限的函数组成，并将几乎处处相等的函数视为同一元素。(math.ucdavis.edu)

更准确地说，其元素是以下关系所确定的等价类：

这样处理是必要的，因为改变函数在零测集上的值不会改变积分。否则，一个仅在零测集上非零的函数也可能具有零范数。对于 $p=\infty$，

其中本质上确界忽略测度为零的例外集合。因此，本质有界比处处有界的要求更弱。(math.ucdavis.edu)

不等式与完备性

这一理论以两个不等式为基础。若 $1\le p\le\infty$，且 $q$ 是其共轭指数，即

其中约定 $1/\infty=0$，则赫尔德不等式给出

当 $p=q=2$ 时，这就是柯西—施瓦茨不等式。闵可夫斯基不等式给出

这正是范数所要求的三角不等式。它与齐次性、正定性一起，使 $L^p$ 成为赋范向量空间。(ocw.mit.edu)

在这一范数下，每个柯西序列都收敛到同一空间中的某个元素。这一完备性结论通常称为里斯—费舍尔定理，说明了为什么 $L^p$ 空间适合用于逼近和极限论证。范数收敛是指 $\|f_n-f\|_p\to0$，不应将其与逐点收敛混淆。对于有限的 $p$，范数收敛保证存在一个几乎处处收敛的子序列，但不一定保证整个序列几乎处处收敛。(ocw.mit.edu)

例子及对测度的依赖

在 $\mathbb R^n$ 的子集上，通常采用勒贝格测度。空间 $L^1$、$L^2$ 和 $L^\infty$ 分别描述绝对可积函数、平方可积函数和本质有界函数。在配备计数测度的正整数集上，相应的空间是序列空间：

这里，$\ell^\infty$ 由有界序列组成。在配备计数测度的有限集上，这一构造给出了熟悉的有限维 $p$ 范数。(math.ucdavis.edu)

可积性同时取决于指数和所用的测度。例如，在 $(0,1)$ 上，

属于 $L^p$ 当且仅当 $\alpha p<1$。因此，增大 $p$ 会对这一奇点提出更严格的要求。若 $0<\mu(X)<\infty$ 且 $1\le p<q\le\infty$，赫尔德不等式给出

所以 $L^q\subseteq L^p$。在无限测度空间上，这一包含关系通常不成立；相比之下，对于整数集上的计数测度，当 $p<q$ 时，有 $\ell^p\subseteq\ell^q$。(math.ucdavis.edu)

希尔伯特空间结构与对偶性

空间 $L^2$ 具有内积

其范数由这个内积诱导。完备性使它成为希尔伯特空间，从而可以讨论正交性和正交投影。这些结构在傅里叶分析和逼近理论中十分重要。(math.ucdavis.edu)

对于 σ 有限测度空间，当 $1\le p<\infty$ 时，$L^p$ 的连续对偶空间与 $L^q$ 等距同构，其中 $q$ 为共轭指数。在实值情形下，每个有界线性泛函都具有以下形式：

当 $1<p<\infty$ 时，$L^p$ 是自反的。端点情形 $L^\infty$ 则有所不同：其连续对偶空间通常比 $L^1$ 更大，因此不能在这一端点简单地将共轭指数的对偶关系反过来使用。(math.ucdavis.edu)

推广与应用

这一定义也可推广到 $0<p<1$。此时，同样的积分表达式给出的是拟范数，一般并非范数，因为通常的三角不等式可能不成立。不过，

在几乎处处相等关系所确定的等价类上定义了一个完备度量。(math.ucdavis.edu)

局部空间 $L^p_{\mathrm{loc}}(\Omega)$ 要求函数在紧子集上可积，而不要求在整个定义域上可积。索伯列夫空间进一步对弱导数施加条件，在偏微分方程研究中居于核心地位。在概率空间上，随机变量 $Y$ 属于 $L^p$ 的条件是其 $p$ 阶绝对矩有限：

因此，$L^p$ 的语言也用于表述概率论中的矩条件和 $p$ 阶平均收敛。(math.ucdavis.edu)