勒贝格测度 · aiwiki.page

勒贝格测度是为欧几里得空间中的可测子集赋予长度、面积和体积的标准方法。在实数轴上，它将区间的长度作为其测度；在高维空间中，它将各边长度的乘积作为长方体的测度。勒贝格测度是测度论中的一个核心例子，也是勒贝格积分所依据的测度。它的构造推广了初等几何中的度量方法，同时保留了可数可加性和平移不变性。这一理论源于亨利·勒贝格在1902年对积分的研究。(math.ucdavis.edu)

构造与可测性

用 $m_n$ ，或简记为 $m$ ，表示 $\mathbb R^n$ 上的勒贝格测度。其构造从外测度开始；外测度对每一个子集都有定义，包括那些不可测的子集。对于各边平行于坐标轴的长方体

Q=\prod_{i=1}^{n}[a_i,b_i], \qquad |Q|=\prod_{i=1}^{n}(b_i-a_i),

定义

m^*(E)= \inf\left\{ \sum_{k=1}^{\infty}|Q_k|: E\subseteq\bigcup_{k=1}^{\infty}Q_k \right\}.

这里的下确界取遍所有可数个长方体组成的覆盖。用于覆盖的长方体可以相互重叠，所得的值也可能为无穷大。因此，外测度描述的是所有覆盖的总体积的下确界，而不是某个特定覆盖的体积。(math.ucdavis.edu)

子集 $E$ 满足卡拉泰奥多里判据时，称为勒贝格可测集：

m^*(A)=m^*(A\cap E)+m^*(A\setminus E) \quad\text{对每个 }A\subseteq\mathbb R^n.

这一条件表示，将任意检验集按其是否属于 $E$ 分成两部分后，两部分的外测度之和等于原集合的外测度。可测集构成一个σ代数，记为 $\mathcal L^n$ ，而勒贝格测度就是外测度在该σ代数上的限制，即 $m=m^*|_{\mathcal L^n}$ 。外测度对任意集合具有可数次可加性；限制到可测集后，则具有可数可加性。(math.ucdavis.edu)

可加性与几何不变性

对于两两不相交的可测集 $E_1,E_2,\ldots$ ，有

m\left(\bigcup_{k=1}^{\infty}E_k\right) =\sum_{k=1}^{\infty}m(E_k).

此外， $m(\varnothing)=0$ ，且 $E\subseteq F$ 蕴含 $m(E)\leq m(F)$ 。勒贝格测度具有σ有限性：虽然 $m(\mathbb R^n)=\infty$ ，但欧几里得空间可以表示为可数个测度有限的有界长方体之并。(math.ucdavis.edu)

勒贝格测度具有平移不变性：

m(E+x)=m(E).

旋转和反射也保持其测度不变。按非零实数 $r$ 进行缩放时，有

m(rE)=|r|^n m(E).

更一般地，可逆的线性映射 $T:\mathbb R^n\to\mathbb R^n$ 满足

m(T(E))=|\det T|\,m(E).

因此，其行列式的绝对值就是体积的缩放因子。这些性质将抽象的测度构造与通常的几何度量联系起来。(ocw.mit.edu)

零测集、完备性与正则性

零测集是测度为零的集合。每个可数集都是零测集：可以用总体积任意小的长方体覆盖其中所有的点。因此，尽管有理数在实数轴上构成一个稠密集，其测度仍为零。不可数并不意味着测度为正；标准的康托集就是不可数的零测集。(math.ucdavis.edu)

勒贝格测度是完备的，也就是说，零测集的每个子集都可测，且测度为零。由开集生成的博雷尔σ代数中的所有集合都是勒贝格可测集，但反过来并不成立。事实上，勒贝格测度是其在博雷尔集上的限制的完备化：每个勒贝格可测集与某个博雷尔集的对称差都是零测集。(math.ucdavis.edu)

勒贝格测度还具有正则性。对于每个可测集 $E$ ，有

m(E)=\inf_{\substack{E\subseteq U\\U\text{ 为开集}}}m(U) =\sup_{\substack{K\subseteq E\\K\text{ 为紧集}}}m(K).

因此，可测集可以从外部用开集逼近，从内部用紧集逼近。对于测度有限的集合和任意 $\varepsilon>0$ ，可以选取这样的逼近，使 $m(U\setminus K)<\varepsilon$ 。(math.ucdavis.edu)

不可测集

并非 $\mathbb R$ 的每个子集都是勒贝格可测的。维塔利集的构造利用了如下等价关系：当 $x-y$ 为有理数时，规定 $x\sim y$ 。借助选择公理，可以从每个与 $[0,1]$ 相交的等价类中选出一个位于该区间内的代表元。(ma.imperial.ac.uk)

将所选集合分别平移 $[-1,1]$ 中的各个有理数，得到的集合两两不相交，其并集覆盖 $[0,1]$ ，并包含于 $[-1,2]$ 。如果所选集合可测，那么由平移不变性，各个平移后的集合都会具有相同的测度。可数可加性于是会使它们的并集具有零测度或无穷测度，这与上述包含关系矛盾。这说明，若要同时保留区间的长度，以及勒贝格测度所要求的可加性和不变性，就无法在所有子集上定义勒贝格测度。(ma.imperial.ac.uk)

积分与概率

勒贝格测度为可测函数的积分提供了所需的集合大小。对于非负简单函数 $s=\sum_j a_j\mathbf1_{E_j}$ ，其中 $E_j$ 为两两不相交的可测集，定义

\int s\,dm=\sum_j a_jm(E_j).

一般非负函数的积分通过简单函数逼近来定义；可取正负值的函数则通过其正部和负部来处理。当某个性质不成立的点组成零测集时，就称该性质几乎处处成立。在这样的集合上改变函数的值，不会改变其勒贝格积分。(ocw.mit.edu)

在概率论中， $\mathbb R^n$ 上的概率密度函数 $f$ 通过下式定义概率：

P(A)=\int_A f\,dm, \qquad f\geq0,\qquad \int_{\mathbb R^n}f\,dm=1.

勒贝格测度本身并不是整个空间上的概率测度，因为其总质量为无穷大。不过，将它限制在 $[0,1]$ 上时，总质量为1，因而给出了均匀分布。对于具有密度的分布，单个点的概率为零，但区间的概率可能为正。(ocw.mit.edu)