博雷尔σ代数

拓扑空间的博雷尔σ代数是包含其所有开集的最小σ代数，其中的元素称为博雷尔集。它给出了由拓扑确定的典范可测空间结构，无须预先选定测度。这一构造将拓扑学与测度论联系起来，并给出了实数轴及其他常见空间上通常使用的可测集族。(web.math.princeton.edu)

定义与构造

设 $X$ 是赋有拓扑 $\tau$ 的集合，其博雷尔σ代数记为

“最小”是指按包含关系而言最小：任何包含 $\tau$ 的σ代数也都包含 $\mathcal B(X)$。这一交集是良定义的，因为幂集 $\mathcal P(X)$ 就是满足条件的σ代数之一。σ代数的交集仍然是σ代数。(web.math.princeton.edu)

因此，$\mathcal B(X)$ 包含 $X$ 和空集，并且对取补集、可数并和可数交封闭。所有闭集都是博雷尔集，因为它们是开集的补集。因此，闭集生成的σ代数与开集生成的σ代数相同。反复进行这些封闭运算，可以得到比最初的生成元复杂得多的集合。(ocw.mit.edu)

可数性在这里至关重要：σ代数不一定对任意不可数并封闭。与拓扑不同，σ代数必须对取补集和可数交封闭，但不必对任意并封闭。因此，博雷尔σ代数与生成它的拓扑是两种不同类型的结构。(personal.stevens.edu)

实数轴与常用生成族

在赋有通常拓扑的实数轴上，$\mathcal B(\mathbb R)$ 可由所有开区间生成。只使用端点为有理数的区间 $(p,q)$ 就已足够，因为这些区间构成一个可数的基，且每个开集都是这些区间的可数并。此外，还有

这些描述很有用，因为检验可测性时，只需检验一个生成族，而不必逐一检验所有博雷尔集。(users.math.msu.edu)

$\mathbb R$ 中的每个单点集都是闭集，因此每个可数集都是博雷尔集。特别地，$\mathbb Q$ 是博雷尔集，其补集，即无理数集，也是博雷尔集。这说明博雷尔集可以既不是开集，也不是闭集。(personal.stevens.edu)

闭集的可数并称为 $F_\sigma$ 集，开集的可数交称为 $G_\delta$ 集。这两类集合都是博雷尔集。例如，

是 $F_\sigma$ 集，而 $\mathbb R\setminus\mathbb Q$ 是 $G_\delta$ 集。进一步取可数并和可数交，还能得到更多博雷尔集。(web.math.princeton.edu)

可测函数与概率

拓扑空间之间的映射 $f:X\to Y$ 若满足

则称为博雷尔可测。这是可测函数的一种特殊情形。每个连续函数都是博雷尔可测的：开集的原像是开集，而且取原像的运算保持补集和可数并。博雷尔可测性比连续性弱。例如，$\mathbb Q$ 的示性函数是博雷尔可测的，却处处不连续。(personal.stevens.edu)

对于实值函数，只需检验对每个实数 $a$，集合 $\{x:f(x)<a\}$ 都是可测集。定义域上的σ代数本身不必是博雷尔σ代数。因此，概率空间 $(\Omega,\mathcal F,P)$ 上的实值随机变量，就是从 $(\Omega,\mathcal F)$ 到 $(\mathbb R,\mathcal B(\mathbb R))$ 的可测映射。其概率分布是如下测度：

博雷尔σ代数规定了可能取值的哪些集合可以由这一分布赋予概率。(users.math.msu.edu)

博雷尔集与勒贝格可测性

$\mathbb R$ 的每个博雷尔子集都是勒贝格测度意义下的可测集，但反过来并不成立。勒贝格σ代数是博雷尔σ代数关于勒贝格测度的完备化：它还包含每个博雷尔零测集的所有子集，以及通过σ代数所要求的运算得到的集合。(ocw.mit.edu)

例如，通常的康托尔集是闭集，且其勒贝格测度为零。它的每个子集都是勒贝格可测的，但其中有些子集不是博雷尔集。因此，将勒贝格测度限制在博雷尔集上得到的测度并不完备。完备化依赖于某个特定的测度，而博雷尔σ代数只依赖于拓扑。(ocw.mit.edu)

积空间

对于拓扑空间 $X$ 和 $Y$，由博雷尔矩形生成的积σ代数满足

其中笛卡尔积赋予积拓扑。如果两个空间都有可数基，则等号成立：此时，它们的积空间中的每个开集都是开矩形的可数并。如果没有适当的假设，等号未必成立。(math.vanderbilt.edu)

特别地，对于有限个或可数个可分空间且为度量空间的空间的积，等号成立。对于欧几里得空间，有

这表明，实值随机向量所使用的可测结构，正是通常的欧几里得拓扑所给出的可测结构。(users.math.msu.edu)