事件（概率论） · aiwiki.page

在概率论中，事件是由可能的结果组成、并被赋予概率的集合。它表示随机试验结果所满足的某个条件：当且仅当观测到的结果属于这个集合时，该事件发生。严格来说，事件是样本空间中某个指定的可测子集族的成员，而不一定是任意子集。概率空间中的概率测度就是定义在事件上的。(ocw.mit.edu)

结果与事件

结果通常记作 $\omega$ ，是样本空间 $\Omega$ 中的一个元素。事件 $A$ 是 $\Omega$ 的一个子集，事件发生可表示为

\omega\in A.

一个结果可以属于多个事件，因此同一次试验中可以有多个事件发生。(ocw.mit.edu)

例如，在掷一次六面骰子的模型中，

\Omega=\{1,2,3,4,5,6\}.

事件“点数为偶数”是 $A=\{2,4,6\}$ ，而“点数大于四”是 $B=\{5,6\}$ 。结果 $6$ 同时属于这两个事件。如果骰子是公平的，那么根据各结果等可能的模型，

P(A)=\frac{3}{6}=\frac12, \qquad P(B)=\frac{2}{6}=\frac13.

只有在基本结果等可能的情况下，才能通过计算有利结果的数量来求得概率。(live.ocw.mit.edu)

只包含一个结果的事件通常称为简单事件或基本事件。必须区分结果 $\omega$ 与只含该结果的单元素集合 $\{\omega\}$ ：后者只有属于所选的事件族时，才是一个事件。(ocw.mit.edu)

可测性与事件族

概率空间是一个三元组

(\Omega,\mathcal F,P),

其中 $\Omega$ 是样本空间， $\mathcal F$ 是由事件组成的σ代数， $P$ 为其中的成员赋予概率。集合族 $\mathcal F$ 包含 $\Omega$ ，对取补集运算封闭，并且对可数并运算封闭。这些性质还意味着它对可数交运算封闭。(live.ocw.mit.edu)

对于有限或可数无限的样本空间，通常选择包含所有子集的幂集 $\mathcal P(\Omega)$ 作为事件族。不过，也可以选取更小的σ代数。对于不可数空间，在标准的连续型模型中必须限制事件族，因为某些子集无法在与预期测度相容的前提下被赋予概率。(ocw.mit.edu)

对于实值模型，常用的选择是由开区间生成的博雷尔σ代数。这一测度论框架规定了哪些条件是可测的，因而可以被赋予概率。它并不要求所有能够设想的子集都是事件。(ts-server.statlect.com)

事件的运算

集合论中的运算可以用来表示条件的组合。对于事件 $A$ 和 $B$ ：

事件	含义
$A\cup B$	$A$ 和 $B$ 中至少有一个发生
$A\cap B$	两者都发生
$A^c=\Omega\setminus A$	$A$ 不发生
$A\setminus B$	$A$ 发生而 $B$ 不发生

并集中的“或”是相容的“或”：它包括两个事件同时发生的结果。空集 $\varnothing$ 是不可能事件，而 $\Omega$ 是必然事件。(ocw.mit.edu)

当 $A\cap B=\varnothing$ 时，称这两个事件互斥，也就是不相交。事件之间的逻辑关系满足诸如德摩根定律这样的恒等式：

(A\cup B)^c=A^c\cap B^c, \qquad (A\cap B)^c=A^c\cup B^c.

这些恒等式的成立与赋予事件的概率无关。(live.ocw.mit.edu)

事件的概率

概率测度满足非负性、归一性 $P(\Omega)=1$ ，以及可数可加性：对于两两不相交的事件 $A_1,A_2,\ldots$ ，

P\!\left(\bigcup_{n=1}^{\infty}A_n\right) =\sum_{n=1}^{\infty}P(A_n).

由此可得，

P(\varnothing)=0,\qquad 0\leq P(A)\leq1,\qquad P(A^c)=1-P(A).

对于任意事件，

P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B).

减去交集的概率，是为了避免将交集重复计算。此外，若 $A\subseteq B$ ，则 $P(A)\leq P(B)$ 。(ocw.mit.edu)

事件与事件的概率是不同的对象。事件描述的是一组结果，而它的概率取决于所采用的概率规律。因此，同一个子集在不同模型下可能具有不同的概率。(live.ocw.mit.edu)

条件概率与独立性

对于满足 $P(B)>0$ 的事件 $B$ ，在 $B$ 已发生的条件下， $A$ 的条件概率为

P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}.

它描述的是只考虑 $B$ 中的结果时， $A$ 发生的概率。(ocw.mit.edu)

当

P(A\cap B)=P(A)P(B)

时，事件 $A$ 和 $B$ 具有统计独立性。若 $P(B)>0$ ，这一条件等价于 $P(A\mid B)=P(A)$ 。独立性取决于概率测度，而互斥性是集合论上的关系。概率均为正的不相交事件不可能独立：它们的交集概率为零，但各自概率的乘积为正。对于包含更多事件的事件族，两两独立一般并不意味着相互独立。(ocw.mit.edu)

事件与随机变量

随机变量为每个结果赋予一个值。关于其取值的陈述表示事件；例如，

\{X\leq x\} =\{\omega\in\Omega:X(\omega)\leq x\}.

对于实值随机变量，可测性保证了这些由阈值条件确定的集合都是事件。因此，累积分布函数定义为

F_X(x)=P(X\leq x).

所以， $P(X=x)$ 这样的表达式，是对相应基本结果集合的概率的简写。(ocw.mit.edu)

反过来，每个事件 $A$ 都确定了一个由示性函数给出的随机变量：

\mathbf1_A(\omega)= \begin{cases} 1,&\omega\in A,\\ 0,&\omega\notin A. \end{cases}

其期望值满足

\mathbb E[\mathbf1_A]=P(A).

这将事件是否发生的问题转化为数值型随机变量的问题，并使我们能够利用示性随机变量的和来研究事件发生的次数。(ocw.mit.edu)

零概率与必然性

概率为零的事件不一定是空集。例如，在 $[0,1]$ 上的均匀分布下，每个单元素集合的概率都为零，尽管其中的每个元素都是模型中可能的结果。然而，整个区间的概率为一。这与可数可加性并不矛盾，因为该区间是不可数多个单元素集合的并集。(ocw.mit.edu)

概率为一的事件称为几乎必然发生的事件。这并不一定意味着它等于整个样本空间：它可能排除了一个非空的零概率事件。这一区别将由 $\varnothing$ 和 $\Omega$ 表示的严格意义上的不可能与必然，同特定测度下概率为零或为一的陈述区分开来。(ocw.mit.edu)

参考来源

Discrete Stochastic Processes, Chapter 1: Introduction and Review of Probabilityocw.mit.edu
30 Introduction to Statistical Methods in Economics, Lecture 2live.ocw.mit.edu
Introduction to Probability: Lecture 1: Probability Models and Axiomsocw.mit.edu
Introduction to Probability, Selected Textbook Summary Materialocw.mit.edu
Mathematics for Computer Scienceocw.mit.edu